简单的三角恒等变换(共41张PPT)

[小题热身]1．已知cosπ4－x＝35，则sin2x＝()A.1825B.725C．－725D．－1625解析：因为cosπ4－x＝35，所以cosπ4cosx＋sinπ4sinx＝35，则sinx＋cosx＝352，所以1＋2sinx·cosx＝1825，即sin2x＝－725.故选C.答案：C2．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33解析：∵α2∈(π2，π)，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－23＝－63.答案：B3．若tanθ＝3，则sin2θ1＋cos2θ＝()A.3B．－3C.33D．－33解析：sin2θ1＋cos2θ＝2sinθcosθ1＋2cos2θ－1＝tanθ＝3.答案：A4．化简：cos40°cos25°1－sin40°＝()A．1B.3C.2D．2解析：原式＝cos220°－sin220°cos25°cos20°－sin20°＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝2，故选C.答案：C5．(教材改编)sin15°－3cos15°＝________.解析：sin15°－3cos15°＝2sin(15°－60°)＝－2sin45°＝－2.答案：－26．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f(π12)的值为________．解析：∵f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x，∴fπ12＝4sinπ6＝8.答案：8[知识重温]一、必记3●个知识点1．降幂公式sin2α2＝①__________(用cosα表示)cos2α2＝②__________(用cosα表示)tan2α2＝③__________(用cosα表示)1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα2．半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα其符号由α2所在的象限决定．3．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.二、必明2●个易误点1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的．2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解．考向一化简与求值问题[自主练透型][例1](1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________；(2)(2017·河南商丘一模)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.12cos2x268[解析](1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2)∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝268.—[悟·技法]—三角式化简与求值的原则方法与要求(1)三角函数式的化简遵循的三个原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂．(3)三角函数式化简的要求①能求出值的应求出值．②尽量使函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．—[通·一类]—1．化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.解析：原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.答案：22cosα2．化简1＋sinθ＋cosθ·sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)＝________.解析：原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2·sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2·sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.∵0θπ，∴0θ2π2，∴cosθ20，∴原式＝－cosθ.答案：－cosθ考向二三角函数求值[互动讲练型][例2]已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f34π－θ.[解析](1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且f5π12＝32，∴Asin5π12＋π4＝32，∴A＝3.(2)∵f(x)＝3sinx＋π4，且f(θ)＋f(－θ)＝32，∴f(θ)＋f(－θ)＝3sinθ＋π4＋3sin－θ＋π4＝3×2cosθsinπ4＝6cosθ＝32.∴cosθ＝64且θ∈0，π2，∴sinθ＝1－cos2θ＝104.f3π4－θ＝3sin3π4－θ＋π4＝3sinθ＝304.—[悟·技法]—三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．—[通·一类]—3．(2017·湖北省教学合作联考)已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝()A．－255B．－3510C．－31010D.255解析：因为tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，所以tanα＝－13，因为－π2α0，所以sinα＝－1010，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinαsinα＋cosα22cosα＋sinα＝22sina＝22×－1010＝－255.答案：A4．已知2tanαsinα＝3，－π2α0，则cosα－π6的值是()A．0B.22C．1D.12解析：由2tanαsinα＝3，得2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，∴cosα＝12或cosα＝－2(舍去)．∵－π2α0，∴sinα＝－32，∴cosα－π6＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＝0，故选A.答案：A考向三研究三角函数的图象与性质[互动讲练型][例3](2016·北京卷)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．[解析](1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π4，所以f(x)的最小正周期T＝2π2ω＝πω.依题意，得πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x＋π4.函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z)．—[悟·技法]—求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式．(2)利用公式T＝2πω(ω＞0)求周期．(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．—[通·一类]—5．已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．解析：(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，且f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.微专题(十一)——化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用(2015·重庆卷)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．[思维点拨](1)讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数．(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．[解析](1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsinx－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈π6，2π3时，0≤2x－π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．[温馨提醒](1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确．(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sint的图象讨论函数的单调性、最值等．[方法与技巧]1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[失误与防范]1