福利-线代模拟答案版

线性代数期末模拟试题一、填空题1.(),________________.AmnBnmmnAB设是阶矩阵，是阶矩阵则答案：0因为R(AB)≤min(R(A),R(B))≤R(A)≤min(m,n)=n,且AB为m*m阶方阵，所以AB非满秩矩阵→|AB|=02．设A,B,C,D均为n阶方阵，且ABCD=E，则(BC)T(DA)T=。答案：EABCD=E且ABCD都为n阶满秩矩阵→所以BC和DA也是满秩矩阵→两个满秩矩阵的乘积是E→可交换，BCDA=E→C’B’和A’D’也为满秩矩阵→所以(BC)’(DA)’=E3．设A为4阶方阵，21,是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则A*=。答案：零矩阵R(A)=n-2=2→A的所有n-1阶子式为0即A*的所有元素都为0→A*为零矩阵4．设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，则A的特征值只能是。答案：2和3设λ→则λ^2-5λ+6是A2-5A+6E的特征值→由于零矩阵的特征值只能是0→所以λ^2-5λ+6=0→解得2和3.5．设3阶实对称矩阵200001010A，200020002B，则存在可逆矩阵P=，使得PTAP=B。答案：自己算二、选择题1．设m,,,21是m个n维向量，则命题“m,,,21线性无关”与命题(A)不等价。12112112112.,,,0.0,0.,,,0.,,,.mmiiimiimimiiimAkkkkBkkkkCkkkkDm对任意一组不全为零的数必有若则必有不存在不全为零的数使得中没有零向量解：根据定义：只有A错2．设矩阵A与B相似，则必有（A）。解：性质A．A,B同时可逆或不可逆B．A,B有相同的特征向量C．A,B均与同一个对角阵相似D．矩阵AE与BE相等3．设A为nm矩阵，r(A)=n，则（A）。A．AAT的行列式值不为零B．AAT必与单位阵相似不一定C．ATA的行列式值不为零有两种情况D．ATA必与单位阵相似不一定解：A为n*m→AA’为n*n阶→R(AA’)=n→满秩，所以不为04．设A为mn矩阵，r(A)=m，且方程组Ax=0只有零解，则（A）。A．方程组Ax=b(bRn)有唯一解B．mnC．A的列向量组线性相关D．A的行向量组线性相关解：定义&性质5．设矩阵200021012A，则在下列矩阵中，与A合同的的矩阵是（自己算）。A1000100011BB1000100012BC．1000100013BD.1000100014B三、计算题1．设矩阵100010011A，且满足方程A*BA=2BA-9E,其中A*为A的伴随矩阵，试求矩阵B。解：自己算2231231232.111,111,0,12,,,,TTTTkkkkk１已知＝　问当为何值时可由线性表示，并写出表达式，　　当为何值时不能由线性表示。解：自己算3．已知A为3阶实对称矩阵，二次型f=xTAx经正交变换x=Qy得标准型2322214yyy，其中),,(321Q，且311113T试求所作的正交变换。解：自己算四、证明题1212121.,,,,,,,,nnnnn设维单位向量组可由维向量组线性表示，　证明线性无关。证明：因为E可由A线性表示，且A也可由E线性表示所以它们等价因为E线性无关→A也线性无关1211221212122.,,,,,,,,,,,,,nnnn设线性无关，可由线性表示，不能由线性表示，证明线性无关.(为常数）证明：设k1a1+……+n(λB1+B2)=0若n≠0，则B2=-(∑kiai)/n-λB1因为B1可由……线性表示，B2不可以所以如果n≠0，则与题意矛盾所以n=0→所以∑kiai=0→又a1……an线性无关→k1=k2=……kn=0原题得证