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福建省龙岩市中考适应性考试数学试卷（三）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．|a﹣b|=|a|+|b|成立的条件是（C）A．ab＞0B．ab＞1C．ab≤0D．ab≤12．下列说法正确的是（C）A．一种彩票的中奖率是2%，则买这种彩票50张一定会中奖B．为了了解一批新型节能灯泡的使用寿命，可以采用普查的方式C．要反映龙岩市一天内气温变化情况宜采用折线统计图D．“太阳从西边升起”是随机事件3．当式子的值为零时，x等于（B）A．4B．﹣3C．﹣1或3D．3或﹣34．一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解，你认为小红做的不够完整的一题是（A）A．a3﹣a=a（a2﹣1）B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C．a2b﹣ab2=ab（a﹣b）D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）5．向如图所示的周长相等的圆和正方形区域内做投针实验，命中圆的概率与命中正方形的概率分别为P1、P2，则（A）A．P1＞P2B．P1=P2C．P1＜P2D．P1=2P26．现在是一点整，从现在开始到三点，时针与分针成90°角的次数是（D）A．1B．2C．3D．47．一次函数y=x+b与反比例函数的图象相交于A、B两点，若已知一个交点为A（2，1），则另一个交点B的坐标为（C）A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）8．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（D）A．小明的影子比小强的影子长B．小明的影子比小强的影子短C．小明的影子和小强的影子一样长D．无法判断谁的影子长9．已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x满足不等式组：，则两圆的位置关系是（C）A．内切B．外切C．相交D．外离10．如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD的面积是（B）A．4B．4C．4D．6二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．试写出一个以为解的二元一次方程组_________．12．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是__（﹣2，3）．13．设a，b，c均为非零实数，且a+b+c=0，则=____﹣1_____．14．如图，坡度为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要__5.5__米．（精确到0.1）15．（3分）如图，在边长为23cm的正方形铁皮上，按图示剪取一块圆形和一块扇形铁皮，恰好做成一个圆锥模型，则该圆锥模型的底面半径是5﹣2cm．16．（3分）一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．如图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是_____．17．（3分）设[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，则=__19．三、解答题（本大题共8小题，共89分）18．（10分）（1）计算：；解：（1）原式=2×﹣1﹣2+1=﹣2=﹣；（2）先化简，再求值：，其中．（2）原式=×=a﹣2，当a=2+时，原式=2+﹣2=．19．（8分）解不等式组并在数轴上表示出解集．解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．20．（10分）如图，在菱形ABCD中，延长AB到点E，使BE=2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△DFC∽△AFE；（2）若AE=9，求线段AF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AE，∴△DFC∽△AFE；（2）解：∵△DFC∽△AFE；∴，∵BE=2AB，AE=9，∴BE=6，AB=3，∴，∴DF=．∴AF=AD+DF=3+=4.5．21．（10分）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：次数成绩（分）姓名12345小王60751009075小李7090808080根据上表解答下列问题：（1）完成下表：姓名极差（分）平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差小王40807575190小李（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．解：（1）小李的平均分==80，中位数=80，众数=80，方差==40，极差=最大的数﹣最小的数=90﹣70=20；姓名极差（分）平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差小王40807575190小李2080808040（2）在这五次考试中，成绩比较稳定的是小李，小王的优秀率=×100%=40%，小李的优秀率=×100%=80%；（3）方案一：我选小李去参加比赛，因为小李的优秀率高，有4次得80分以上，成绩比较稳定，获奖机会大．方案二：我选小王去参加比赛，因为小王的成绩获得一等奖的机率较高，有2次90分以上（含90分），因此有可能获得一等奖．（注：答案不唯一，考生可任选其中一人，只要分析合理，都给满分．若选两人都去参加，不合题意不给分）．22．（12分）（2006•株洲）如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为（﹣2，0），⊙O′与x轴相交于原点O和点A，又B，C两点的坐标分别为（0，b），（1，0）．（1）当b=3时，求经过B，C两点的直线的解析式；（2）当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求每种位置关系时b的取值范围．解：（1）设经过B，C两点的直线的解析式为y=kx+b．把（0，3），（1，0）代入得，解得．故直线的解析式为y=﹣3x+3．（2）点B在y轴上运动时，直线BC与⊙O'的位置关系有相离、相切、相交三种．当点B在y轴上运动到点E时，恰好使直线BC切⊙O'于点M，连接O'M，则O'M⊥MC．在Rt△CMO'中，CO'=3，O'M=2，∴CM=．由Rt△CMO'∽Rt△COE，可得=．∴OE=．由圆的对称性可知，当b=±时，直线BC与圆相切；当b＞或b＜﹣时，直线BC与圆相离；当﹣＜b＜时，直线BC与圆相交．23．（12分）父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．（1）假设儿子跑步的速度是v（单位：米/秒），求父亲跑步的速度（结果用v表示）；（2）现在儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑，请问父亲能否在100米终点处超过儿子？解：（1）父亲是儿子的速度的：（×7）÷（×4），=÷，=2.1（倍）；即父亲跑步的速度是2.1v．（2）设儿子每步跑x米，父亲每步跑y米，∵儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等，∴4y=7x，又儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑，设t个单位时间父亲追上儿子，依题意得：5tx+50=6ty，把4y=7x代入这个的方程，5tx+50=6t•x，解之得tx=，则赶上时儿子跑了5tx=×5=＜50，故父亲能在100米的终点处超过儿子．24．（13分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点P是边BC（含端点）上的动点，过P作PR⊥AB，垂足为点R，过R作RS⊥BC，垂足为点S．在线段RS上，存在一点T，若以PT为直角边作等腰直角三角形PTF，其顶点F恰好落在AC上．（1）求证：△PRS∽△ABC；（2）探索并证明线段TS与线段CP的数量关系；（3）假设BC=3，CP=x，等腰直角三角形PTF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y有最大值和最小值．（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°．∵PR⊥BC，∴∠PRS=∠BRS=45°，∴∠RPS=45°∴∠PRS=45°=∠B，∠SPR=∠A，∴△PRS∽△ABC；（2）解：线段TS与线段CP的数量关系是相等，即TS=PC．理由如下：∵△PTF是等腰直角三角形，∠FPT=90°，∴PT=PF．又∵∠C=∠PST=90°，∴∠TPS=∠PFC，∠PTS=∠FPC（同角的余角相等）．∵在△PTS与△FPC中，∴，∴△PTS≌△FPC（ASA），∴TS=PC；（3）解：由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，∴PS=BS，∴BS+PS+PC=3，∴PS==．由（2）知：TS=PC=x，∴等腰Rt△PTF的面积y=PT•PF=PT2=PS2+ST2=×[（）2+x2]=x2﹣x+=（x﹣）2+．根据二次函数的性质，当x=时，y最小值=．如图2，当点T运动与R重合时，PC=TS为最大．易证等腰Rt△PCF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，∴PC=BC=1．y最大值=1．25．（14分）如图（1），在平面直角坐标系中二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，﹣2），B（3，﹣1）（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）请问在y轴上是否存在点P，使得S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使得△QAB是等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由（不用证明）．解：（1）由l2的解析式为y=﹣x2+bx+c，联立方程组：解得得：b=，c=﹣，则l2的解析式为y=﹣x2+x﹣=﹣（x﹣）2﹣．点C的坐标为（，﹣）．（2）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．得：S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x﹣，则点G的坐标为（0，﹣），设点P的坐标为（0，h），①当点P位于点G的下方时，PG=﹣﹣h，连接AP、BP，则S△ABP=S△BPG﹣S△APG=﹣﹣h，又S△ABC=S△ABP=，得h=﹣，点P的坐标为（0，﹣）．②当点P位于点G的上方时，PG=+h，同理h=﹣，点P的坐标为（0，﹣）．综上所述所求点P的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）（7分）（3）作图痕迹如答图2所示．由图可知，当以AB为腰以A为顶点时，以点A为圆心，以AB为半径画圆与抛物线交与Q1；当以AB为腰以B为顶点时，以点b为圆心，以AB为半径画圆与抛物线交与Q2；当以AB为底边时，作AB的垂直平分线交抛物线于Q3，Q4；故满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．（10分）