离散信号与系统时域分析.

数字信号处理(DigitalSignalProcessing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地离散信号与系统分析基础离散信号与系统的时域分析离散信号的频域分析离散系统的频域分析双边z变换与反变换离散系统的系统函数全通滤波器与最小相位系统信号的抽样与重建离散时间信号与系统离散信号与系统的时域分析离散信号的表示离散序列的产生基本序列序列的基本运算系统分类单位脉冲响应利用MATLAB求解离散LTI系统响应离散时间信号与系统离散信号的表示k121-1-10123x[k]1图形x[k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}}1,12,,1,1{][-kx向量][2][kukxk表达式离散时间信号与系统离散序列的产生(1)对连续信号抽样x[k]=x(kT),T-samplingperiod(2)信号本身是离散的(3)计算机产生离散信号:时间上量化的信号数字信号:时间和幅度上都量化的信号离散时间信号与系统基本序列(1)单位脉冲序列0001][kkk定义：(2)单位阶跃序列0001][kkku定义：(3)矩形序列-其他0101][NkkRN离散时间信号与系统(4)指数序列Zkakxk,][有界序列：若kZ，存在|x[k]|Mx(Mx是与k无关的常数)aku[k]：右指数序列有界的条件|a|1aku[-k]：左指数序列有界的条件|a|1基本序列ak：(双边)指数序列有界的条件|a|=1离散时间信号与系统(5)虚指数序列(单频序列)基本序列kkxje][周期性：结论：如果0/2pm/N，N、m是不可约的整数，则信号的周期为N。kNkNk0000jjj)(jeeee则1e0jN若即0N=m2p，m=正整数时，信号是周期信号。离散时间信号与系统(5)虚指数序列(单频序列)基本序列ejk可以对连续虚指数信号ejwt以T为间隔抽样得到kTkkTttxkxwjjee)(][数字角频率与模拟角频率w之间的关系为=wT两者区别：虚指数序列x[k]=ejk不一定为周期序列。而连续虚指数信号x(t)=ejwt必是周期信号。离散时间信号与系统(6)正弦型序列)ee(21)cos(jjkkk-)ee(j21)sin(jjkkk--正弦型序列与虚指数序列是同类信号，可以相互线性表达，正弦型序列也不一定是周期序列，其周期性的判断与虚指数序列相同。基本序列例:试确定余弦序列x[k]=cos0k当(a)0=0；(b)0=0.1p；(c)0=0.2p；(d)0=0.8p；(e)0=0.9p；(f)0=p时的基本周期N解：(a)0/2p0/1N=1(b)0/2p0.1/21/20N=20(c)0/2p0.2/21/10N=10(d)0/2p0.8/22/5N=5(e)0/2p0.9/29/20N=20(f)0/2p1/2N=2随着角频率0的增加，序列的周期(N)不一定变小。例:试确定余弦序列x[k]=cos0k当(a)0=0；(b)0=0.1p；(c)0=0.2p；(d)0=0.8p；(e)0=0.9p；(f)0=p时的基本周期N解：(a)0/2p0/1N=1(c)0/2p0.2/21/10N=10x[k]=cos0k,0=0010203040-101x[k]=cos0k,0=0.2p010203040-101例:试确定余弦序列x[k]=cos0k当(a)0=0；(b)0=0.1p；(c)0=0.2p；(d)0=0.8p；(e)0=0.9p；(f)0=p时的基本周期N解：(d)0/2p0.8/22/5N=5(f)0/2p1/2N=2010203040-101x[k]=cos0k,0=0.8p010203040-101x[k]=cos0k,0=p当0从0增加到p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐加快x[k]=cos0k,0=0010203040-101x[k]=cos0k,0=0.2p010203040-101010203040-101x[k]=cos0k,0=0.8p010203040-101x[k]=cos0k,0=p当0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。()()Zpnkkn00cos)2(cos两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时，是同一个序列。由于cos[(2p-0)k]=cos(0k)0在p附近的余弦序列是高频信号。00或2p附近的余弦序列是低频信号。0在p奇数倍附近的余弦序列是高频信号。0在p偶数倍附近的余弦序列是低频信号。正弦型序列cos(0k)的特性利用MATLAB产生序列MATLAB中的基本函数：exp,sin,cos,square,sawtooth例:利用MATLAB产生指数序列x[k]=Kaku[k]。a=input('输入指数a=');K=input('输入常数K=');N=input('输入序列长度N=');k=0:N-1;x=K*a.^k;stem(k,x);xlabel('时间');ylabel('幅度');title(['\alpha=',num2str(a)]);05101520253000.511.52时间a=0.9幅度a=0.9,K=2,N=31的指数序列离散时间信号与系统序列的基本运算(1)翻转(timereversal)x[k]x[-k](2)位移(延迟)x[k]x[k-N](3)抽取(decimation)x[k]x[Mk](4)内插(interpolation)其他的整数倍是0]/[][ILkLkxkx(5)卷积(convolution)][][][nkhnxkyn--(6)相关(correlation)][][][nkykxnrkxy-互相关自相关][][][nkxkxnrkx-例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，试求y1[k]=x1[k-n]*x2[k-m]。解：y1[k]=y[k-(m+n)]例：x[k]非零范围为N1kN2，h[k]的非零范围为N3kN4求：y[k]=x[k]*h[k]的非零范围。解：N1N3kN4N2序列卷积的基本特性两个序列的卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于两个序列的长度之和减1。例：利用MATLAB函数conv计算两个序列的离散卷积。x=[-0.5,0,0.5,1];kx=-1:2;h=[1,1,1];kh=-2:0;y=conv(x,h);k=kx(1)+kh(1):kx(end)+kh(end);stem(k,y);xlabel('k');ylabel('y');-3-2-1012-0.500.511.5ky例:x[k]={2,1,-2,1;k=0,1,2,3}，y[k]={-1,2,1,-1;k=0,1,2,3}，试计算互相关函数rxy[n]和rxy[n]，以及自相关函数rx[n]。解：根据序列的相关运算定义可得][][][30nkykxnrkxy]3[]2[2]1[][2-nynynyny{1,4,4,3,7,1,2}----30[][][]yxkrnykxkn[]2[1][2][3]xnxnxnxn--{2,1,7,3,4,4,1}----][][][30nkxkxnrkx]3[]2[2]1[][2-nxnxnxnx{2,3,2,10,2,3,2}----离散时间信号与系统序列相关的基本特性(1)rxy[n]=x[-n]*y[n](2)rxy[n]=ryx[-n]rx[n]=rx[-n](3)rx[0]|rx[n]|离散时间信号与系统离散系统时域分析离散时间系统][kx][ky输入序列输出序列y[k]=T{x[k]}][][00nkxbnkyanMnnNn--离散LTI系统可由线性常系数差分方程描述离散时间信号与系统离散系统单位脉冲响应定义：]}[{][kTkh-][][:nkhkn解例：已知累加器的输入输出关系为][][nxkykn-试求其单位脉冲响应h[k]。][ku离散LTI系统对任意输入的响应-nnkhnx][][][*][khkx][][][khkxky*-nnknxkx][][][由于}][{][]}[{-nnkTnxkxT所以离散时间信号与系统1.线性(Linearity)]}[{]}[{]}[][{2121kxbTkxaTkbxkaxT离散系统分类2.时不变(Time-Invariance)若T{x[k]}=y[k]，则有T{x[k-n]}=y[k-n]线性时不变系统简称为：LTI系统解：输入序列x[k]产生的输出序列y[k]为y[k]=T{x[k]}=x[Mk]输入序列x[k-n]产生的输出序列为T{x[k-n]}=x[Mk-n]由于x[Mk-n]y[k-n]故该离散系统是时变系统。例:已知抽取器的输入和输出关系为y[k]=x[Mk]试判断该离散系统是否为时不变系统？]2[][11kxky23451k0-1135]1[][12-kxkx23451264k0-1135]2[][22kxky23451264k0-123451264k0][1kx-1135抽取器时变特性的图示说明离散时间信号与系统3.因果性（Causality）离散系统k时刻的输出只与k时刻及以前的输入有关，即系统的输出不超前于系统的输入。定理：离散LTI系统为因果系统的充要条件为h[k]=0k0离散系统分类由于M1+M2+1点滑动平均系统为LTI系统，因此，当M2=0时，系统是因果的。-其他0)1/(1][1221MkMMMkh例:判断M1+M2+1点滑动平均系统的因果性。可得该系统的单位脉冲响应h[k]为根据M1+M2+1点滑动平均系统的输入–输出关系][11][2121nkxMMkyMMn-解：离散时间信号与系统4．稳定性当输入|x[k]|Mx有界，若输出|y[k]|My也有界，则称系统是BIBO稳定。定理：离散LTI系统稳定的充要条件是-kSkh][离散系统分类解：M1+M2+1点滑动平均系统的单位脉冲响应为-其他0)1/(1][1221MkMMMkh因此该系统稳定。例:判断M1+M2+1点滑动平均系统的稳定性。-kkh1][由于M1+M2+1点滑动平均系统为LTI系统，且解：例:判断系统是否(1)线性(2)因果(3)时不变(4)稳定][][2kxkky])[][(]}[][{21221kbxkaxkkbxkaxT][][]}[{]}[{221221kxbkkxakkxbTkxaT]}[{]}[{]}[][{2121kxbTkxaTkbxkaxT(1)系统线性。所以系统k时刻的输出只与k时刻的输入有关，系统因果。(2)解：例:判断系统是否(1)线性(2)因果(3)时不变(4)稳定][][2kxkky(3)(4)][]}[{2nkxknkxT--][)(][2nkxnknky---][]}[{nkynkxT--所以当输入信号x[k]有界时，输出信号y[k]可以是无界的，所以系统不稳定。系统时变。离散时间信号与系统利用MATLAB求解离散LTI系统响应当已知系统的输入和N个初始状态，可由下式迭代计算系统的输出。][)/(][)/(][0001nkxabnkyaakynMnnNn---][][00nkxbnkyanMnnNn--离散LTI系统的输入–输出关系可由线性常系统差分方程描述离散时间信号与系统其中：b=[b0,b1,,bM],a=[a0,a1,,aN]x表示输入序列，y表示输出序列。系统