离散型随机变量及其分布列.

离散型随机变量及其分布列考纲点击1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．答案：C1．袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数解析：由随机变量的概念可知，选项C正确．2．设离散型随机变量X的概率分布如下：X1234P161313p则p的值为()A.16B.12C.13D.14解析：由离散型随机变量概率分布的性质有16＋13＋13＋p＝1，∴p＝16.答案：A3．袋中有大小相同的6只钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．36B．12C．9D．8解析：X的可能取值为3,4,5,6,7,8,9,10,11共9种．答案：C4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于________．答案：13解析：设成功率为P，则失败率为12P，∴P＋12P＝1，即P＝23.∴P(X＝0)＝12P＝13.5．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________.答案：13解析：由题意知，12a＋22a＋32a＝62a＝1，∴a＝3.即P(X＝i)＝i6，∴P(X＝2)＝26＝13.1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量．随机变量一一列出2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…n)的概率p1，p2，…，pn，则表Xx1x2…xi…xnP……p1p2pipn称为离散型随机变量X的，简称为X的．有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)离散型随机变量分布列的性质①；②；pi≥0，i＝1,2,3，…，n概率分布列分布列3．常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为其中P＝，称为成功概率．X10PPqP（X=1）(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1,2，…，m，其中m＝，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列min{M，n}X01…mP…CmMCn－mN－MCnNC1MCn－1N－MCnNC0MCn－0N－MCnN为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．[做一题][例1]设离散型随机变量X的分布列为求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．X01234P0.20.10.10.3m[自主解答]由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：从而由上表得两个分布列为：X012342X＋113579|X－1|10123(1)2X＋1的分布列：(2)|X－1|的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3|X－1|0123P0.10.30.30.3保持题目条件不变，求P(12X＋19)解：P(12X＋19)＝P(2X＋1＝3)＋P(2X＋1＝5)＋P(2X＋1＝7)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.[悟一法]1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．2.若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．[通一类]1．设随机变量ξ的分布列为：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________.解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.答案：232．设随机变量Y的分布列为：Y－123P14m14试计算事件“Y≤12”和“32≤Y≤72”的概率．解：∵14＋m＋14＝1，∴m＝12.∴P(Y≤12)＝P(Y＝－1)＝14，P(32≤Y≤72)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝34.[做一题][例2]某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；(3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率．[自主解答](1)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，∴P(A)＝610＋410×23＝1315.(2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C34C06C310＝130，P(X＝1)＝C24C16C310＝310，P(X＝2)＝C14C26C310＝12，P(X＝3)＝C04C36C310＝16.∴X的分布列如下：X0123P1303101216(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的事件为B，事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以，P(B)＝130·(13)3＝1810.[悟一法]求离散型随机变量分布列的步骤：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝Pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．[通一类]2．某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条，求选择甲线路旅游团数的分布列．解：设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P(X＝0)＝3343＝2764，P(X＝1)＝C13·3243＝2764，P(X＝2)＝C23·343＝964，P(X＝3)＝C3343＝164.∴X的分布列为：ξ0123P27642764964164[做一题][例3]一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．[自主解答](1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P112512512112[悟一法]1．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．2．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．[通一类]3．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数X的分布列．解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝C25C14C39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C35C39＝542，P(X＝1)＝C25C14C39＝1021，P(X＝2)＝C15C24C39＝514，P(X＝3)＝C34C39＝121.∴X的分布列为：ξ0123P5421021514121[热点分析]高考对本节内容的考查多以实际问题为背景，以解答题的形式考查离散型随机变量分布列的求法，且常与排列、组合、概率、均值与方差等知识综合考查，难度适中，属中档题．[考题印证](2011·湖南高考)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．[考题纠错]———————————(前人之鉴，后人之师)[错解](1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝920，P＝(X＝3)＝520＝14.故X的分布列为X23P92014X的数学期望为E(X)＝2×920＋3×14＝3320.[错因]本题错解的原因在于混淆了随机变量X的实际意义．X为第二天开始营业时该商品的件数，实事上，“X＝2”对应日销售量为1件，“X＝3”对应日销售量为0,2,3件，三种情况．[正解](1)同错解．(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝520＝14；P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34.故X的分布列为X23P1434X的数学期望为E(X)＝2×14＋3×34＝114.1．第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：男女9988650742111516171819778991245892345601若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．ξξξ解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，的可能取值为0,1,2,3，则P(＝0)＝C38C312＝1455，P(＝1)＝C14C28C312＝2855，P(＝2)＝C24C18C312＝1255，P(＝3)＝C34C312＝155.因此，的分布列如下：0123P145528551255155故E()＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1.ξξξξξξξξ2．济南市开展支教活动，有五名教师被随机地分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少分一名教师．(1)求甲、乙两名教师同时分到一个中学的概率；(2)求A中学分到两名教师的概率；(3)设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．解：(1)设甲、乙两位教师同时分到一个中学为事件A，基本事件总数N＝12C25C23A33＋C35A33.所以P(A)＝C23A33＋C13A3312C25C23A33＋C35A33＝625.(2)设A中学分到两名教师为事件B，所以P(B)＝C25C23A2212C25C23A33＋C35A33＝25.(3)由题意知X的可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝C15C24C22＋C34A2212C25C23A33＋C35A33＝715，P(X＝2)＝25，P(X＝3)＝C25A2212C25