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7-4欧拉图和汉密尔顿图要求：1、理解欧拉图、汉密尔顿图的定义。2、掌握欧拉图的判定方法。3、会判断一些图不是汉密尔顿图。4、熟悉一些欧拉图和汉密尔顿图。一、欧拉图1、哥尼斯堡七桥问题ABCD近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过哥尼斯堡城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。七桥问题等价于在图中求一条回路，此回路经过每条边一次且仅有一次。欧拉在1736年的论文中提出了一条简单的准则，确定了哥尼斯堡七桥问题是不能解的。2、欧拉图(Euler)如果无孤立结点图G上有一条经过G的所有边一次且仅一次的路径，则称该路径为图G的欧拉路径（Eulerwalk）。如果图G上有一条经过G边一次且仅一次的的回路，则称该回路为图G的欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（Eulergraph）。定理7-4.1无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G连通，并且有零个或两个奇数度结点。证明思路：1)先证必要性:G有欧拉路G连通且（有0个或2个奇数度结点）设G的欧拉路是点边序列v0e1v1e2…ekvk，其中结点可能重复，但边不重复。因欧拉路经过（所有边）所有结点，所以图G是连通的。对于任一非端点结点vi，在欧拉路中每当vi出现一次，必关联两条边，故vi虽可重复出现，但是deg(vi)必是偶数。对于端点,若v0=vk，则deg(v0)必是偶数，即G中无奇数度结点。若v0≠vk，则deg(v0)必是奇数，deg(vk)必是奇数,即G中有两个奇数度结点。必要性证完。2)再证充分性:(证明过程给出了一种构造方法)G连通且（有0个或2个奇数度结点）G有欧拉路(1)若有2个奇数度结点,则从其中一个结点开始构造一条迹,即从v0出发经关联边e1进入v1,若deg(v1)为偶数,则必可由v1再经关联边e2进入v2,如此下去,每边仅取一次,由于G是连通的,故必可到达另一奇数度结点停下,得到一条迹L1:v0e1v1e2…ekvk。若G中没有奇数度结点,则从任一结点v0出发,用上述方法必可回到结点v0,得到一条闭迹。(2)若L1通过了G的所有边,L1就是一条欧拉路。(3)若G中去掉L1后得到子图G’,则G’中每个结点度数都为偶数,因为原来的图G是连通的,故L1与G’至少有一个结点vi重合,在G’中由vi出发重复(1)的方法,得到闭迹L2。(4)当L1与L2组合,若恰是G,得欧拉路,否则重复(3),可得闭迹L3,依此类推可得一条欧拉路。充分性证完由于有了欧拉路和欧拉回路的判别准则，因此哥尼斯堡七桥问题立即有了确切的否定答案，因为从图中可以看到deg(A)＝5，deg(B)＝deg(C)＝deg(D)=3，故欧拉回路必不存在。定理7-4.1的推论无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G连通且所有结点度数皆为偶数。4、一笔画问题要判定一个图G是否可一笔画出，有两种情况：一是从图G中某一结点出发，经过图G的每一边一次仅一次到达另一结点。另一种就是从G的某个结点出发，经过G的每一边一次仅一次再回到该结点。v1v2v3v4v5•为欧拉路，有从v2到v3的一笔画。•为欧拉回路，可以从任一结点出发，一笔画回到原出发点。5.定义7-4.2：给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路（回路），称作单向欧拉路（回路）。可以将欧拉路和欧拉回路的概念推广到有向图中。6.定理7-4.2(1)有向图G为具有一条单向欧拉回路，当且仅当G连通，并且每个结点的入度等于出度。(2)有向图G有单向欧拉路，当且仅当G连通，并且恰有两个结点的入度与出度不等，它们中一个的出度比入度多1，另一个入度比出度多1。证明思路与定理7-4.1类似例1有向欧拉图应用示例：计算机鼓轮的设计。鼓轮表面分成24=16等份，其中每一部分分别用绝缘体或导体组成，绝缘体部分给出信号0，导体部分给出信号1，在下图中阴影部分表示导体，空白体部分表示绝缘体，根据鼓轮的位置，触点将得到信息4个触点a,b,c,d读出1101(状态图中的边e13),转一角度后将读出1010(边e10)。问鼓轮上16个部分怎样安排导体及绝缘体才能使鼓轮每旋转一个部分，四个触点能得到一组不同的四位二进制数信息。二、汉密尔顿图•与欧拉回路类似的是汉密尔顿回路。•它是1859年汉密尔顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在图7-4.6中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？•若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成是交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地？他把这个问题称为周游世界问题。定义7-4.3：给定图G，若存在一条路经过图中的每个结点恰好一次，这条路称作汉密尔顿路。若存在一条回路，经过图中的每个结点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。具有汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图。二、汉密尔顿图图7-4.6存在一条汉密尔顿回路，它是汉密尔顿图2、定理7-4.3若图G＝V，E具有汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)≤|S|，其中W(G-S)是G-S的连通分支数。证明设C是G的一条汉密尔顿回路，对于V的任何一个非空子集S，在C中删去S中任一结点a1，则C-a1是连通的非回路，W(C-a1)=1，|S|≥1，这时W(C-S)≤|S|。若再删去S中另一结点a2，则W(C-a1-a2)≤2，而|S|≥2，这时W(C-S)≤|S|。由归纳法可得：W(C-S)≤|S|。同时C-S是G-S的一个生成子图，因而W(G-S)≤W(C-S)，所以W(G-S)≤|S|。C经过图G的每个结点恰好一次，C与G的结点集合是同一个，因此C-S与G-S的结点集合是同一个，定理7-4.3是必要条件，可以用来证明一个图不是汉密尔顿图。如右图，取S={v1,v4}，则G-S有3个连通分支，不满足W(G-S)≤|S|，故该图不是汉密尔顿图。所以用此定理来证明某一特定图不是汉密尔顿图并不是总是有效的。例如，著名的彼得森(Petersen)图，在图中删去任一个结点或任意两个结点，不能使它不连通；删去3个结点，最多只能得到有两个连通分支的子图；删去4个结点，只能得到最多三个连通分支的子图；删去5个或5个以上的结点，余下子图的结点数都不大于6，故必不能有5个以上的连通分支数。所以该图满足W(G-S)≤|S|，但是可以证明它不是汉密尔顿图。说明：此定理是必要条件而不是充分条件。有的图满足此必要条件，但也不是汉密尔顿图。3.定理7-4.4设图G具有n个结点的简单图,如果G中每一对结点度数之和大于等于n-1,则G中存在一条汉密尔顿路。证明思路：1)先证G连通:若G有两个或多个互不连通的分支,设一个分图有n1个结点,任取一个结点v1,另一分图有n2个结点,任取一个结点v2,因为deg(v1)≤n1-1,deg(v2)≤n2-1,deg(v1)+deg(v2)≤n1+n2-2n-1,与假设矛盾,G是连通的。2)先证(构造)要求的汉密尔顿路存在:不要求掌握！说明：该定理的条件是充分条件但不是必要条件。例：见308页图7-4.10。n=6，每一对结点度数之和等于4，小于n-1，但在G中存在一条汉密尔顿路。3.定理7-4.4设图G具有n个结点的简单图,如果G中每一对结点度数之和大于等于n-1,则G中存在一条汉密尔顿路。例某地有5个风景点，若每个景点均有两条道路与其他景点相通，问是否可经过每个景点一次而游完这5处。解将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有5个结点的无向图。由题意，对每个结点vi(i=1,2,3,4,5)有deg(vi)=2。则对任两点和均有deg(vi)+deg(vj)=2+2=4=5–1所以此图有一条汉密尔顿回路。即经过每个景点一次而游完这5个景点。例：在七天内安排七门课程的考试，使得同一位教师所任的两门课程不排在接连的两天中，试证明如果没有教师担任多于四门课程，则符合上述要求的考试安排总是可能的。证明：设G为具有七个结点的图，每个结点对应于一门课程考试，如果这两个结点对应的课程考试是由不同教师担任的，那么这两个结点之间有一条边，因为每个教师所任课程数不超过4，故每个结点的度数至少是3，任两个结点的度数之和至少是6，故G总是包含一条汉密尔顿路，它对应于一个七门考试课程的一个适当的安排。4.定理7-4.5设图G具有n个结点的简单图,如果G中每一对结点度数之和大于等于n,则G中存在一条汉密尔顿回路。证明：略5、图的闭包定义7-4.4：给定图G=V，E有n个结点，若将图G中度数之和至少是n(≥n)的非邻接结点连接起来得图G’，对图G’重复上述步骤，直到不再有这样的结点对存在为止，所得到的图，称为是原图G的闭包，记作C(G)。在这个例子中C(G)是完全图，一般情况下，C(G)也可能不是完全图。6、定理7-4.6：当且仅当一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。7、推论：n3的有向(无向)完全图Kn为汉密尔顿图。作业P311：（2）（6）（9）7-5平面图一、平面图1、定义7-5.1如果无向图G=V,E的所有结点和边可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处相交。无向图G称为平面图（planargraph），否则称G为非平面图。有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不能就此肯定它不是平面图。例如，下面左图表面看有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是一个平面图。有些图形不论怎样改画，除去结点外，总有边相交，故它是非平面图。定义7-5.2设图G=V,E是一连通平面图，由图中各边所界定的区域称为平面图的面(regions)。有界的区域称为有界面，无界的区域称为无界面。界定各面的闭的拟路径称为面的边界(boundary).面r的边界长度称为面r的度（degree）记为deg(r)，又称为面r的次数。2、面、边界例如图7-5.3deg(r1)=3deg(r2)=3deg(r3)=5deg(r4)=4deg(r5)=3deg(r1)+deg(r2)+deg(r3)+deg(r4)+deg(r5)=18如边是两个面的分界线，该边在两个面的度数中各记1次。如边不是两个面的分界线(称为割边)则该边在该面的度数中重复记了两次，故定理结论成立。3.定理7-5.1设G为一有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍。证明思路：任一条边或者是两个面的共同边界（贡献2次），或者是一个面的重复边（贡献2次）4、欧拉定理定理7-5.2（欧拉定理）设G为一平面连通图，v为其顶点数，e为其边数，r为其面数，那么欧拉公式成立v–e+r=2证明（1）若G为一个孤立结点，则v=1，e=0，r=1，故v-e+r=2成立。（2）若G为一个边，即v=2，e=1，r=1，则v-e+r=2成立。（3）设G为k条边时，欧拉公式成立，即vk-ek+rk=2。考察的情况。因为在k条边的连通图上增加一条边，使它仍为连通图，只有下述两种情况：①加上一个新结点b，b与图上的一点a相连，此时vk和ek两者都增加1，而面数rk没变，故（vk+1）-（ek+1）+rk=vk-ek+rk=2。②用一条边连接图上的已知两点，此时ek和rk都增加1，结点数vk没变，故vk-（ek+1）+（rk+1）=vk-ek+rk=2。例：已知一个平面图中结点数v=10，每个面均由4条边围成，求该平面图的边数和面数。解：因每个面的次数均为4，则2e=4r，即e=2r，又v=10，代入欧拉公式v-e+r=2有10-2r+r=2解得r=8，则e=2r=16。5.定理7-5.3设G为一简单连通平面图，其顶点数v≥3，其边数为e，那么e≤3v–6证明思路：设G的面数为r,当v=3,e=2时上式成立,若e=3,则每一面的次数不小于3,各面次数之和不小于2e,因此2e≥3r,r≤2e/3代入欧拉公式:2=v-e+r≤v-e+2e/3整理后得:e≤3v–6说明：这是简单图是平面图的必要条件。本定理的用途:判定某图是非平面图。例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e3v-6，所以K5不是平面图。定