离散数学代数系统练习

一、填空1.下列集合中，对普通加法和普通乘法都封闭。（）（A）1,0（B）2,1（C）Nnn2（D）Nnn22、在自然数集N上，下面哪种运算是可结合的？（）（A）ba（B）),max(ba（C）ba2（D）ba3、有理数集Q关于下列哪个运算能构成代数系统？（）（A）baba（B）1ln22baba（C）babasin（D）abbaba4、下列运算中，哪种运算关于整数集I不能构成半群？（）（A）baba,max（B）bba（C）abba2（D）baba5．设代数系统A，·，则（）成立.A．如果A，·是群，则A，·是阿贝尔群B．如果A，·是阿贝尔群，则A，·是循环群C．如果A，·是循环群，则A，·是阿贝尔群D．如果A，·是阿贝尔群，则A，·必不是循环群6．设L,,是格，L，≤是由这个格诱导的偏序集，则（）不成立.A．对任意aLba,,≤bbabB．对是可分配C．,都满足幂等律D．L,≤的每对元素都有最小上界与最大下界7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（）是格.8.已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为()(A)(B)(C)(D)9.6阶有限群的任何子群一定不是（）。(A)2阶(B)3阶(C)4阶(D)6阶10.下列哪个偏序集构成有界格（）(1)（N,）(2)（Z,）(3)（{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4)(P(A),)11.下面代数系统中（G、＊）中（）不是群A、G为整数集合＊为加法B、G为偶数集合＊为加法C、G为有理数集合＊为加法D、G为有理数集合＊为乘法12.设G、＊是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。A、存在零元B、存在幺元C、G中每个元素都有逆元D、运算＊是可结合的13.若H、＊是G、＊的真子群，且｜H︳=n｜G︳=m,则有A、n整除mB、m整除nC、n整除m且m整除nD、n不整除m且m不整除n14.设L,≤是一条链，其中｜L︳≧3，则L,≤是（）A、不是格B、有补格C、分配格D、布尔格15.只含有限个元素的格称为有限格，有限格必是（）A、有界格B、有补格C、分配格D、布尔格16、设L,≤是有补格有界格，若它也是有补格，只要满足（）A、每个元素都有一个补元B、每个元素都至少有一个补元C、每个元素都无补元D、每个元素都有多个补元二、填空1.设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是，零元是2.设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是，零元是；3.设〈G,*〉是一个群，则(1)若a,b,x∈G，ax=b，则x=；(2)若a,b,x∈G，ax=ab，则x=。4.代数系统G,*是一个群，则G的等幂元是5.设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1)若ca=b，则c=；(2)若ca=ba，则c=。6、H,是G,的子群的充分必要条件是()。7、群＜A,*＞的等幂元有个，是，零元有个8.设*是如下表定义的集合cbaA,,上的运算：*cbaabccbacabccc则*的单位元为___________；零元为____________；可逆元为_______________.9．设KGG的核则的满同态到群是群,,,2211_____________.10．格满足的运算律为的运算,,L________，________，_______.11．设,,,B是布尔代数，其中则,1,,,0B_____________，________.三、证明1.设G,·是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。试证：H是G的子群2.设群G,＊除单位元外每个元素的阶均为2，则G,＊是交换群3.设半群S,·中消去律成立，则S,·是可交换半群当且仅当a,bS，（a·b）2=a2·b2。4.设R是实数集，在R上定义二元运算*，x,yR，定义x*y=x+y+2xy说明*是否满足结合律、交换律？是否存在单位元？若存在请求出．5.已知(L，*，)是格，且二元运算*和满足分配律，a,b,cL，化简表达式((a*b)(a*c))*((a*b)(b*c))6.设,G是群，若对任意Gx，有xx1，则,G是交换群设,S是一独异点，H是S中所有可逆元素的集合,证明,H是一个群7.设Q2（Q是有理数集合）上的二元运算*定义如下：对任意yxba,,,∈Q2，有byaxayxba，,,（其中，·，+是有理数乘法与加法运算），求*的单位元，零元及每个可逆元的逆元.