离散数学章节练习4KEY

离散数学章节练习4范围：代数系统一、单项选择题1.G,*是群，则对*(A)A、有单位元，可结合B、满足结合律、交换律C、有单位元、可交换D、有逆元、可交换2.设N和Z分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是(B)A、NB、{x÷2|xZ}C、{x|xN且x是素数}D、{2x+1|xZ}3.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有(B)A.〈Z，+，÷〉B.〈Z，÷〉C.〈Z，－，÷〉D.〈P(A)，〉4.设S={0，1}，*为普通乘法，则S,*是(B)A、半群，但不是独异点；B、只是独异点，但不是群；C、群；D、环，但不是群。5.设f是由群G,☆到群G,*的同态映射，则ker(f)是(B)A、G的子群B、G的子群C、包含GD、包含G6.在整数集Z上,下列哪种运算不是封闭的(C)A+B-C÷DX7.设S={0，1}，*为普通乘法，则S,*是(B)A、半群，但不是独异点；B、只是独异点，但不是群；C、群；D、环，但不是群。8.设R是实数集合，“”为普通乘法，则代数系统R，×是（A）。A．群；B．环；C．半群Ｄ.都不是9.设是集合S上的二元运算，如果集合S中的某元素eL,对xS都有eLx=x,则称eL为(C)A、右单位元B、右零元C、左单位元D、左零元10.Z,+整数集上的加法系统中0是(A)A单位元B逆元C零元D陪集11.若V=S,是半群，则它具有下列那些性质(A)A、封闭性、结合性B、封闭性、交换性C、有单位元D、有零元二、判断题1．若半群S,*含有零元，则称为独异点。()2、代数系统Z，×的零元是0()3、{e},*是G,*的子群。()4、小于6阶群都是可交换群。()5、设*是S上的二元运算，若存在零元和单位元e，则|S|1()6、代数系统Z,×的单位元是1。()7．若群G,*中的运算可交换，则称为交换群。()8、在代数系统A,*中如果元素Aa的左逆元1ea存在，则它一定唯一且11eaa。()9、设S,*是群G,*的子群，则G,*中幺元e是S,*中幺元。()10、设},,3|{均为有理数babaxxA，+,·为普通加法和乘法，则代数系统A，+，·是域。()11、设*是S上的二元运算，若存在零元和单位元e，则|S|1()12、设A,≼为偏序集,BA,y∈B，若x(x∈B→y≼x)成立,则称y为A的最小元()13、若V=S,是封闭、可结合,则称V为半群。()14、Z,+整数集上的加法独异点()15、设G为群G,且|G|1，则G中没有零元。()16、设为群G,，对于a,bG，必存在唯一的xG，使得ax=b。()17、设G,*是群,若G存在一个元素a，使得G中任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群。()18、设与*是集合S上的二种可交换的二元运算，若x,yS都有x*(xy)=x,x(x*y)=x则称*与是满足吸收律()19、设是集合S上的二元运算，若xS都有xx=x,则称在S上是幂等的,或者说运算在S上满足幂等律。()20、设是集合S上的二元运算，若x,yS都有xy=yx,则称在S上是可交换的,或者说运算在S上满足交换律。()21、设G,*是群,若G存在一个元素a，使得G中任意元素都由a的幂组成，则称该群为交换群。()22、设S,是半群,集合BS,且运算在B上封闭,则B,是半群。()23、设G为群G,且|G|1，则G中没有单位零元()【参考答案】1-10×√√√×√√×√√11-20××√√√√√√√√21-23×√×三、填空题1．代数系统N，+的单位元是0。2．代数系统G，*的单位元e的逆元是e。3．对代数系统S，*，其中*是S上的二元运算，若存在a∈S，且对任意的xS，都有a*x=x*a=x，则称a为运算“*”的单位元。4．自然数乘法代数系统N，X的单位元是1。5．集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集。6．设是集合S上的二元运算，如果集合S中的某元素eL对xS都有eLx=x,则称eL为左单位元。7．某xS若有yLS,使得yLx=e，则称yL为左逆元。8．H是G的子群，aG,H的右陪集Ha={x|x=ha,hH}，其中a称为Ha的代表元或特征元。9．设是S上的二元运算,若存在零元与单位元e,且集合S中至少有2个元素，则与e的关系为≠e。10．设A,R是偏序集,BA,y0B,若xB,均有x,y0R，则y0是B的最大元。11．设有代数系统A,,在A上定义了等价关系RAA。如果a1,a2，b1,b2R时均有a1b1,a2b2R,称R为A上关于的同余关系。12．设G,*是群,若G存在一个元素a，使得G中任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群。记成G=a，a称为该群的生成元。13．设与*是集合S上的二种可交换的二元运算，若x,yS都有x*(xy)=x,x(x*y)=x,则称*与是满足吸收律。四、计算题1.判断自然数中的加法N,+是否是半群。【参考答案】2．判断整数中的加法Z,+是否是群，并证明。【参考答案】3.判断自然数中的乘法N,x是否是半群。【参考答案】4.证明：设S,是半群，集合BS，且运算在B上封闭，则B,是半群。【参考答案】5.设*为Z上的二元运算Zyx,，X*Y=min(x，y),即x和y之中较小的数.求4*6，7*3，9*1，15*2的结果。【参考答案】43126.设*为Z上的二元运算Zyx,，X*Y=min(x，y),即x和y之中较小的数，求*运算的单位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。【参考答案】单位元无，零元1,所有元素无逆元7.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即x,y∈S,xy=(xy)mod4。问〈S，〉是否构成群？为什么？【参考答案】解：(1)x,y∈S,xy=(xy)mod4S,是S上的代数运算。(2)x,y,z∈S,设xy=4k+r30r(xy)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod4同理x(yz)=(xyz)mod4所以，(xy)z=x(yz)，结合律成立。(3)x∈S,(x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。(4),33,11110和2没有逆元所以，〈S，〉不构成群8.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算为x,y∈Z,xoy=x+y-2，问Z关于o运算能否构成群？为什么？【参考答案】解：(1)x,y∈Z,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代数运算。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz=xo(yoz)，结合律成立。(3)设e是单位元，x∈Z,xoe=eox=x,即x+e-2=e+x-2=x,e=2(4)x∈Z,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,所以，xyx41所以〈Z，o〉构成群9.令S={a，b}，S上有三个运算分别如下表确定。(a)(b)(c)这三个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？【参考答案】(a)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元bbaa11,(b)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律ababbabaabba)(,)(bbabba)()(没有单位元,没有零元(c)不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元10.设集合A={1,2,3,4},*是A上的二元运算,其定义为:a*b=a+ab,请写出*的运算表。【参考答案】其运算表如表所示。*12341234524681036912154812162011.写出(N5,ī5)的运算表,其中N5={0,1,2,3,4},ī5是模5加法运算。【参考答案】代数系统(N5,ī5)的运算表如表所示。ī50123400123411234022340133401244012312.设A={1,2,3,4},*是A上的二元运算,其定义为:a*b=min(a,b),请写出*的运算表。【参考答案】其运算表如表所示。*12341111121222312334123413.设(A,*)是代数系统,A是有限集,那么(1)当运算*对于A是封闭运算时,其运算表有何特征?(2)当运算*是可交换运算时,其运算表有何特征?【参考答案】(1)当运算表中的元素都属于A时,*对于A是封闭的。(2)当运算表中的元素关于运算表的对角线对称时,*为可交换运算。13.设(A,*)是代数系统,A是有限集,那么(1)当运算*对于A是封闭运算时,其运算表有何特征?(2)当运算*是可交换运算时,其运算表有何特征?【参考答案】其运算表如表所示。*12341234524681036912154812162014.设(Z,*)是代数系统,*的定义分别为:(1)a*b=|a+b|(2)a*b=ab(3)a*b=a+b-1(4)a*b=a+2b(5)a*b=2ab问:哪些运算对于Z是封闭的?哪些运算是可交换运算?哪些运算是可结合运算?【参考答案】(1)a*b=|a+b|,易见*对于Z是封闭的,是可交换运算,但*不是可结合运算,因为(a*b)*c=|a+b|*c=||a+b|+c|a*(b*c)=a*|b+c|=|a+|b+c||当取a=1,b=-1,c=-1时,就有(a*b)*c=||a+b|+c|=1a*(b*c)=|a+|b+c||=3所以(a*b)*c≠a*(b*c)由此说明*不是可结合运算。(2)a*b=ab,易见*对于Z不是封闭的,若取a=2,b=-1,则a*b=2-1=1/2,它不是整数。*也不是可交换运算,若取a=2,b=3,则a*b=23=8,b*a=32=9,所以a*b≠b*a。*也不是可结合运算,因为(a*b)*c=ab*c=(ab)c=abca*(b*c)=a*bc=abc所以(a*b)*c≠a*(b*c)由此说明*不是可结合运算。(3)a*b=a+b-1,易见*对于Z是封闭的,且是可交换运算,也是可结合运算。(4)a*b=a+2b,*对于Z是封闭的,但不是可交换运算,因为a*b=a+2bb*a=b+2a所以a*b≠b*a。*也不是可结合运算,因为(a*b)*c=(a+2b)*c=a+2b+2ca*(b*c)=a*(b+2c)=a+2(b+2c)=a+2b+4c所以(a*b)*c≠a*(b*c)。(5)a*b=2ab,易见*对于Z是封闭的,且是可交换运算和可结合运算。15.设A={2,4,6,8,10},*是A上的二元运算,其定义分别为:(1)a*b=min(a,b)(2)a*b=a(3)a*b=ab+a(4)a*b=gcd(a,b),其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数(5)a*b=lcm(a,b),其中lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数问:哪些运算是等幂运算?【参考答案】(1),(2),(4),(5)都是等幂运算。16.在代数系统(Z,*)中,二元运算*的定义分别为:(1)a*b=a+b-1(2)a*b=(a+b)2(3)a*b=a2+b2(4)a*b=b(5)a*b=3ab问:哪些运算*可使(Z,*)为半群或独异点?【参考答案】.(1)易见,a*b=a+b-1,运算*对于Z是封闭的,且满足结合律,幺元为1。所以(Z,*)是独异点。17.A={1,2,3,4,5,6},A上二元运算*的定义分别为:(1)a*b=|a+b|(2)a*b=min(a,b)(3)*为模7乘法(4)*为模7加法(5)a*b=a2+b问:哪些运算*可使(A,*)为独异点?【参考答案】运算a*b=(a+b)2对