积分叠加法求变形

§6-4用叠加法求弯曲变形一、叠加原理在小变形，是线性的；材料服从胡克定律的情况下，)()(xMxEI挠曲线的近似微分方程弯矩)(xM与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置FFMEIqqMEIMEIqFMMxM)(设弯矩MqFqFMMEIEI)(qFEI)(qFEIqF挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加M分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理。总的近似微分方程：)(qFEI证明梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和.这就是叠加原理.121122(,,,)()()()nnnFFFFFF121122(,,,)()()()nnnwFFFwFwFwF1、载荷叠加2、结构形式叠加（逐段刚化法）例1按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。36PCFawEI24PAFaEI4524qCqLwEI33qAqaEIqF=+ABCaaFABqABq叠加2(34)12APAqAaFqaEI435246CPCqC36PCFawEI24PAFaEI4524qCqLwEI33qAqaEIF=+ABCaaFABqAB例2已知：q、l、EI，求：yC,B载荷叠加法（查表法）应用于多个载荷作用的情形ωC,B1、载荷分解,2431EIqlBEIqlC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(322查表：单独载荷作用下321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql3841143、变形叠加例3用叠加法确定C和yC?EIqlC841w,6)2(32EIlqB2222lBBCEIlq8)2(422lB2cw21CCCEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874第二类叠加法将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。例3：用叠加法确定ωC?ABalFC1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的ＡＢ段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。Fa：使AB梁产生变形。B()3BFalEI1CaBC1aEIlFa3)()(32EIlFaABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；2）考虑BC段变形引起C截面的挠度a2Cw)(332EIFawC21CCC)(3332EIFaEIlFaABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度刚度条件（stiffnesscondition)刚度条件的应用maxmax[][]ww是构件的许可挠度和转角.[]w和[](1)校核刚度(2)设计截面尺寸(3)求许可载荷§6.5简单超静定梁一.基本概念1.超静定梁单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁FABABCFFRAFRBFRC2.“多余”约束多于维持其静力平衡所必需的约束3.“多余”反力“多余”相应的支座反力4.超静定次数超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数.n=未知力的个数-独立平衡方程的数目FABABCFFRAFRBFRC二、求解超静定梁的步骤1、把超静定梁在形式上转变为静定梁将可动绞链支座作看多余约束,解除多余约束代之以约束反力RB.得到原超静定梁的基本静定系.2、列几何方程——变形协调方程超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的变形协调条件ABql0BwqABRB根据变形协调条件得变形几何方程：变形几何方程为BBBqBR0BBqBRwwBqwBBRw3、列物理方程—变形与力的关系查表得qAB将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程4、建立补充方程48BqqlwEI33BBBRlRwEIBARBqABRB补充方程为由该式解得5、求解其它问题（反力、应力、变形等）43083BqllREIEI38BqlRqABqABBABqwBBRwRBRBRAmA求出该梁固定端的两个支反力58AqlR218Aqlm代以与其相应的多余反力偶mA得基本静定系.变形相容条件为请同学们自行完成！方法二:取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束.0AABqlABqlmA例5如图示结构，已知AB梁截面的惯性矩为I，杆BD的截面积为A,二者材料相同，弹性模量为E。试求BD杆所受的拉力FN。FFFFFFABCDFFFFFFABCDlNEAlFlNawwCFCFBF§6-6提高梁刚度的措施()zMxwEIw)(xMEzI一、改善结构、减少弯矩１、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４、w一般与跨度有关，５、增加约束：3l成正比，与故可减小跨度；CdxEIxMw)(DCxdxdxEIxMw)(尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩。５、增加约束：采用超静定结构改变支座形式FF改变载荷类型q=F/LFzI二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材Ｅ大致相同。选用合适的材料，增加弹性模量。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；