秩亏自由网平差

秩亏自由网平差的研究刘阳（江苏师范大学，城建学部，江苏徐州）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据,即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时,其误差方程的系数阵B不能满足列满秩的要求,相应的法方程系数阵TbbNBPB是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解,除了遵循最小二乘准则外,还需增加新的基准约束条件,从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB从传统的测量平差的观点出发,来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系,给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。关键词：秩亏自由网；平差；间接平差ResearchRankDefectFreeNetworkAdjustmentLiuyang(SchoolofUrbanconstructionanddesign,JiangsuNormalUniversity,221116)Abstract:RankDefectFreeNetworkcontrolnetworkbecauseofnotenoughinitialdata,Thatlackofadjustmentproblemsbenchmark.Therefore,whencarriedoutbyindirectadjustmentadjustment,thecoefficientmatrixBerrorequationdoesnotmeettherequirementsoffullrank.Correspondingnormalequationcoefficientmatrixisrankdeficientmatrix.Inordertofindauniquesetofunknownparameterstodeterminethesolution,inadditiontofollowingtheleastsquarescriterion,theneedtoaddanewbenchmarkconstraints,resultinginauniquesolutiontodeterminetheunknownparameters.ThemainadvantageofMATLABarticlefromthetraditionalviewpointofSurveyingAdjustment,Analysisofthenatureofthecalculationexamples,anddiscussesthelossofrankfreenetadjustmentofthesolution,AdditionaldiscussionoftheformoftheSmatrixdetermined,discussestherelationshipbetweensolutionsofrankdefectfreenetworkadjustmentofthesolutionwiththetraditionalfreenetworkadjustment,theprocessgivesadetailedanswer,andcomparethetwomethodsoftheiradvantagesanddisadvantages.Givessummary.Keywords:Rank-defectfreenetadjustment;adjustment;conditioncomparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。1秩亏自由网平差1.1秩亏自由网平差的提出在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B总是列满秩的，即R(B)=t（t为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩tBRPBBRNRTbb)()()(法方程具有唯一解.在图（1）水准网中,假定3P的高程已知为3H，待定点1P、2P的高程平差值为0111ˆˆXXx，0222ˆˆXXx.各段路线长度为S，高差为等权观测，误差方程32312131ˆVxlB图（1）的显式为1112223310ˆ11ˆ01vlxvlxvl法方程及其显式为ˆTTBBxBl1122ˆ21ˆ12xwxw在误差方程系数阵B中，存在一个二阶行列式不等于零，如10111，故B的秩R（B）=2，即B为列满秩阵.由此法方程系数的秩R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解为1ˆ()TTxBBBl这就是经典自由网平差情况.上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：先设3P点的平差值0333ˆˆXXx，参与列误差方程，然后另033ˆXX，将3ˆ0x作为参数的条件方程，于是其函数模型为33313131ˆVxlB13310ˆTCx式中001TC,其显式为111222333ˆ101ˆ110ˆ011vxlvxlvxl123ˆˆ0010ˆxxx（即3ˆ0x）可见俩种模型等价，平差结果相同.在这种情况下，误差方程的行列式等于零，即1011100011其中有二阶行列式不等于零，故R(B)=2，数2为网中必要观测数，B为秩亏阵，其列亏数d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式，转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.秩亏自由网的法方程系数阵N奇异，即0N,故N的凯利逆1N不存在，法方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题.产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d就是网中必要起算数据的个数。1.水准控制网：水准观测值是两个控制点之间的高差。为了确定水准网中各水准点的高程，就必须至少有一个已知高程点作为全网起算数据。所以，水准网的基准数据的个数1d。2平面测角三角网：要推导各待定点的坐标，就必须有一个起算点坐标，还需要一个起算方位和一条起算边，或者有两个起算点坐标。所以，测角三角网的基准数据个数d=4。2.测边三角网、边角同测三角网和导线网：必要起算数据有一个点的两个坐标和一个方位角，即这三种控制网的基准数据个数d=3。3.三维控制网：三维控制网需要一个起算点（ZYX,,）、三个已知定向角（ZYX,,）和一条空间已知边长布S，即需要7个起算数据；如果三维控制网中的观测值包括空间边长，则必要起算数据的个数为6，即三维控制网的基准d=7（不含空间边长观测值），或d=6(含空间边长观测值)。4.GPS控制网：为确定各待定点在空间坐标系中的三维坐标（ZYX,,），GPS控制网的必要起算数据只为一个点的三维坐标，所以GPS控制网得基准数为d=3。1.2秩亏自由网附加条件平差原理附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。秩亏自由网平差的函数模型为utRnuunn)(,1,1,,1,BΔXBL（1-1）B的列亏数tud，随机模型为12020PQD（1-2）按最小二乘原理minPVVT，P为非奇异，法方程具有无穷多组解。一般，为了获得未知数参数的惟一解，给定基准条件为0ˆ1uuuTudxPS（1-3）式中dR)(S，而且0BS（1-4）左乘PBT，即得0NS（1-5）TS行满秩，表示（1-5）式中d个方程互不相关，条件（1-4）表示所增加的d个条件与误差方程互独立。由（1-5）式知，S是矩阵N的d个零特征值所对应的d个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由N的特征值方程求出。xP称为基准权，xP不同取值反映了所取的基准约束不相同，亦即xP对应了所选的基准。按最小二乘原理，令函数minˆ2xPSKPVVxTTT（1-6）得法方程为0xPSWSKPxNˆˆxTx（1-7）将上式中第一式左乘TS，顾及（1-4）和（1-5）式得0SKPSxT（1-8）因二次型SPSxT不能为零，故必有0K（1-9）于是（1-6）式为minPVVT可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与未知参数附加的基准约束无关，亦即PVVT是一个不变量，平差所得的改正数V不因所取基准约束不同而异，这是一个重要性质。将（1-7）中的第二式左乘SPx后与第一式相加，顾及0K，可得WxPSSPNˆxTx（1-10）系数阵满秩，令1xTxPPSSPNQ（1-11）则参数估计为WQxpˆ（1-12）按协因数传播律，xˆ的协因数为TxTxTpxxSSPSSPSSQQ11ˆˆ（1-13）若令1SPSSGxT（1-14）则可得TpxxGGQQˆˆ（1-15）单位权方差估计为)(ˆ20BPVVRnT（1-16）1.2.1附加矩阵的S具体形式由上面的公式可以看出附加矩阵S的具体形式为一维的水准网，秩亏数d=11111TmS三维GPS网，秩亏数d=33333331TmSEEE二维测边网，秩亏数d=3320000001122101010010101TmmmSYXYXYX二维测角网秩亏数d=40000004211220000001122101010010101TmmmmmSYXYXYXXYXYXY以上均假设控制点总网点数为m.1.2.1附加矩阵S的确定方法在附加阵S已知的条件下，采用附加条件法进行秩亏自由网平差计算与经典方法一致。因此是常用的方法。下面将进一步讨论附加阵S的确定方法。由线性代数的理论可知，法方程系数阵N与它的特征值i和特征向量iX之间的关系为uiii,,2,1,0XIN在秩亏自由网平差中，由于法方程系数阵N为亏秩方阵，其秩亏数tud，所以，在N中的u个特征向量中，必有d个零特征值。当i=0时，为0PBXBNXiTi在秩亏自由网平差中，附加阵S应满足的条件是0BS，所以，附加阵S实际上就是N矩阵零特征值所对应的特征向量。1.3重心基准的秩亏自由网平差采用重心基准，基准权设为单位阵，xP=E，一般称为普通秩亏自由网平差平差的模型为ˆˆ0minTTVBxlSxVPV由公式ttrrSSpBBNPlBWTrSNG1rr得到xˆ和rrrWNx1ˆTrrXXQGGN1ˆˆ1.4拟稳平差以拟稳基准的秩亏自由网平差称为拟稳平差.基准权为1122uuxuuOOPOE式中12uuu，2ud.基准约束式为令12TTTdududuSSS则拟稳平差的基准约束条件为22ˆ0TSx顾及上述关系式。xˆ1)(XTxPSSPN20TTTSxSSPSSPNGxss1xxˆˆQTssxxGGNQ1拟稳平差是全部网点分为俩个部分1X2X，2X是拟稳点的坐标参数，基准约束条件，仅包含参数2X.所以拟稳基准拟稳点组的重心基准平差.当所取的2ud时，拟稳平差就转化为经典自由网平差.2应用实例例:如图的水准网中，观测高差﹑距离和各带定点高程近视值列于表1中分别进行下列自由网平差.如下图:（1）以6号点为固定点的经典自由网平差；（2）以重心基准的