积分常用公式

《微积分A》（上）第4、5章公式1积分常用公式一．基本不定积分公式：1．Cxdx2．111xdxx1()3．Cxdxxln14．Caadxaxxln)1,0(aa5．Cedxexx6．Cxxdxcossin7．Cxxdxsincos8．Cxdxxxdxtancos1sec229．Cxdxxxdxcotsin1csc2210．Cxxdxxsectansec11．Cxxdxxcsccotcsc12．Cxdxxarcsin112（或12arccos11Cxdxx）13．Cxdxxarctan112（或12cot11Cxarcdxx）14．Cxxdxcoshsinh15．Cxxdxsinhcosh二．常用不定积分公式和积分方法：1．Cxxdxcoslntan2．Cxxdxsinlncot3．Caxaxadxarctan1224．Caxaxaaxdxln21225．Cxxxdxtanseclnsec6．Cxxxdxcotcsclncsc7．Caxxadxarcsin228．Caxxaxdx2222ln9．Caxaxaxdxxaarcsin222222210．Caxxaaxxdxax2222222ln2211．第一类换元积分法（凑微分法）：《微积分A》（上）第4、5章公式2CxFxtxdxfdxxxfdxxg)]([)(])([)]([)()]([)(但并未明显做变换相当于令12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：CxFCtFdttfdtttgtxdxxg)]([)()()()]([)()(1令注：要求代换)(t单调且有连续的导数，且“换元须还原”13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)vduuvudv14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。“尽管万能但往往很繁，尽量不用”）：令2tanxu，则212sinuux，2211cosuux，duudx21215．有理真分式)()()(mnxQxpmn分解定理：(1).分母)(xQm中如果有因式kax)(（k为正整数），则分解式中有下列k个最简分式之和：kkaxAaxAaxA)()(221（kAAA,,,21都是常数）(2)分母)(xQm中如果有因式kqpxx)(2（k为正整数），其中042qp，则分解式中有下列k个最简分式之和：kkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()(22222211（kMMM,,,21，kNNN,,,21都是常数）三．积分时常用的三角恒等变换公式：1．1cossin22xx2．xx22sectan13．xx22csccot14．22cos1sin2xx5．22cos1cos2xx6．)]sin()[sin(21cossin7．)]cos()[cos(21coscos《微积分A》（上）第4、5章公式38．)]cos()[cos(21sinsin四．定积分的性质1．bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([2．badxxkf)(badxxfk)(3．定积分对积分区间具有可加性：bccabadxxfdxxfdxxf)()()(（a、b、c大小任意）4．保号性：若在],[ba上，)()(xgxf，则babadxxgdxxf)()(推论1：若在],[ba上，0)(xf，则0)(badxxf推论2：若在],[ba上)(xf可积，则)(xf在区间],[ba上也可积，且babadxxfdxxf)()(5．估值定理：若在],[ba上，Mxfm)(，则)()()(abMdxxfabmba6．积分中值定理：若)(xf在],[ba上连续，则至少存在一点],[ba，使得))(()(abfdxxfba注：可以证明当上述a或b时，必另有),(ba，使得))(()(abfdxxfba7．广义积分中值定理（教材P270例7）：若)(xf和)(xg在],[ba上连续，且)(xg不变号，则至少存在一点],[ba，使得babadxxgfdxxgxf)()()()(五．微积分基本定理：1．变上限积分函数的导数：若)(xf在],[ba上连续，则函数xadttfx)()(在],[ba上可导，且)()(xfx推论1：若)(xf在],[ba上连续，)(xb在],[ba上可导，则)()]([)()(xbxbfdttfxba推论2：若)(xf在],[ba上连续，)(xa、)(xb在],[ba上可导，则)()]([)()]([)()()(xaxafxbxbfdttfxbxa提示：当被积表达式中有变量x时，求变上限积分函数对x的导数时，一定要先设法把x从被积表达式中消掉（此时把x看作常数，或从积分号中提出去或换元消除）2．牛顿——莱布尼兹公式：设)(xf在],[ba上连续，)(xF为)(xf在],[ba上的任意一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba《微积分A》（上）第4、5章公式4即可，以此类推。六．定积分的计算方法和常用定积分公式：1．定积分换元法：设)(xf在],[ba上连续，做代换)(tx，若)(t连续，当t在],[(或],[)上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(，b)(，则dtttfdxxfba)()]([)(“换元必换限”2．分部积分法：bababavduuvudv3．对称性：若)(xf在],[aa上连续，则当)(xf为偶函数时，aaadxxfdxxf0)(2)(当)(xf为奇函数时，0)(aadxxf4．设)(xf是周期为T的周期函数，则)(xf在任何长度为一个周期的区间上定积分的值都相等，即Taadxxf)(Tdxxf0)(5．的正奇数为大于为正偶数11325423122143231cossin2020nnnnnnnnnnxdxxdxInnn6．00)(sin2)(sindxxfdxxxf七．定积分的几何应用：（要求掌握微元法、充分利用对称性）1．平面图形的面积：（步骤：一画草图，二求交点，三选积分变量，四分析微元，五列出定积分表达式，六计算定积分）(1)直角坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线)(xfy，)(xgy（)()(xgxf），直线ax及bx（ba）围成，则badxxgxfA)]()([若平面图形由曲线)(yx，)(yy（)()(yy），直线cy及dy（ba）围成，则dcdyyyA)]()([(2)曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：（看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小）若平面图形由曲线)()(tytx，直线ax、bx（ba）及x轴围成的曲边梯形，则《微积分A》（上）第4、5章公式521)()(ttbadtttydxA，其中)(11at，)(12bt(3)极坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线)(，射线及（）围成的曲边扇形，则dA)(2122．立体的体积(1)已知平行截面的面积，求立体的体积：已知立体垂直于x轴的截面面积为)(xA，bxa，则badxxAV)((2)旋转体的体积(a)由曲线)(xfy，直线ax、bx（ba）及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转形成的旋转体的体积baxdxxfV)(2（薄片法）(b)由曲线)(xfy，)(xgy（0)()(xgxf）直线ax及bx（ba）围成的图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积baxdxxgxfV)]()([22（薄片法）由曲线)(yx，)(yx（)()(yy）直线cy及dy（dc）围成的图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积dcxdyyyyV)]()([2（柱壳法）(c)由曲线)(yx，直线cy、dy（dc）及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转形成的旋转体的体积dcydyyV)(2（薄片法）(d)由曲线)(yx，)(yx（0)()(yy）直线cy及dy（dc）围成的图形绕y轴旋转形成的旋转体的体积dcydyyyV)]()([22（薄片法）由曲线)(xfy，)(xgy（)()(xgxf）直线ax及bx（ba）围成的图形绕y轴旋转形成的旋转体的体积baydxxgxfxV)]()([2（柱壳法）3．平面曲线的弧长(a)直角坐标系下的弧长公式badxys2)(1或dcdyxs2)(1(b)参数方程下的弧长公式dttts)()(22(c)极坐标系下的弧长公式ds)()(22《微积分A》（上）第4、5章公式6八．定积分的物理应用（微元法分析）1．变力做功（用到的中学物理公式SFW（功常力距离））2．液体的侧压力（用到的中学物理公式APF（压力压强面积），hgP（压强密度重力加速度深度））3．引力（用到的中学物理公式2rMmkF，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解到各坐标轴上再用定积分）九.广义积分：1．无穷区间上的广义积分：设)(xf在下列给定的区间上连续，)(xF是)(xf的一个原函数，则(1))()()(aFFdxxfa,其中)(lim)(xFFx，(2))()()(FbFdxxfb，其中)(lim)(xFFx(3))()()(FFdxxf，其中)(lim)(xFFx，)(lim)(xFFx若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。2．无界函数的广义积分（瑕积分）：若)(limxfx或)(limxfx，则称x为)(xf的瑕点。(1)设)(xf在),[ba上连续，b为瑕点，则sabsbadxxfdxxf)(lim)((2)设)(xf在],(ba上连续，a为瑕点，则btatbadxxfdxxf)(lim)((3)设)(xf在],[ba上除点cx（bca）外处处连续，c为瑕点，则btctsacsbadxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)(若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。