空间几何体的概念表面积和体积

考点1空间几何体的概念、表面积和体积1.(2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)已知长方体1111ABCDABCD的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且3ABAD,12AAAD，则四棱锥1DABCD的体积为________.【考点】四棱锥的体积.【答案】463【分析】3ABAD，12AAAD，∴设ADa，则3ABa，12AAa又因为长方体的对角线是其外接球的直径，∴222221(2)8rADABAAa∴222ra，又∵24π16πr，∴242ra∴1111462622333DABCDABCDVSAA.第1题图FGQ272．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是______.【考点】圆锥的侧面展开图.【答案】3【分析】∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2×sin60°=3.3．(江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为________.【考点】四棱锥的侧面积.【答案】42【分析】正四棱锥底面边长为2，高为1，则侧面的高22112h，故此正四棱锥的侧面积1422422S.4．(淮安都梁中学2015届高三10月调研)已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．【考点】圆锥的侧面积．【答案】15π【分析】圆锥的高为4，底面半径为3，所以圆锥的母线为5圆锥的侧面积：16π515π2.s5．（南通市2015届高三第三次调研）已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积Vcm3．zl073第5题图【考点】空间几何体，几何体的展开图，棱柱、棱锥的体积．【答案】216【分析】由该几何体的表面展开图只该几何体为一个正方体和一个正四棱锥的组合，则其体积V=3122111326.6．（2015江苏苏州市高三上调考）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S、2S，则有1S：2S=．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】3：2．【分析】由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：1S=6π，球的表面积为：2S=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为1S：2S=3：2．故答案为：3：2．7．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD外接球表面积为．【考点】立体几何中的边角关系和球的表面积公式.【答案】7π【分析】正△ABC中，ADBD，ADCD；2ABBCAC，3AD，1BDCD；将四面体ABCD还原成三棱柱，可以得到一个直棱柱。如图（1）.其底面中心E到B、C、D三个点的距离均为1，E到外接球的球心O的距离为32；∴外接球的半径为22371()22R；∴外接球的表面积为24π7πSR.JSY65JSY66图（1）第7题图8．（15江苏模拟（三））已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为.【答案】3154【分析】因为正四棱锥的侧面积为16，则一个侧面的面积为4，根据三角形面积公式可得侧面的高为4，则正四棱锥的高为15，根据正四棱锥的体积13Vsh，可得V=3154.9．（15南通市直调考）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣111ABC中，M为11AC的中点，则三棱锥M﹣1ABC的体积为．第9题图cqn02【考点】棱锥的体积．【答案】233【分析】∵各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣111ABC中，M为11AC的中点，∴1BM⊥平面ACM，且1BM=413，12222AMCS△，∴三棱锥M﹣1ABC的体积：1MABCV=1BAMCV=113AMCSBM△=1233=233．10.（15南京师大附中高三上学期12月月考数学试卷）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC△是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为________．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】26【分析】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为1O，则1OO⊥平面ABC，延长1CO交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵1233323CO，∴221361()33OO，∴高SD=21OO=263，∵ABC△是边长为1的正三角形，∴34ABCS△，∴132623436SABCV三棱锥．第10题图FGQ5411.（15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23的扇形，则此圆锥的体积为_____.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)．【答案】223【分析】∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为23，半径为3的扇形∴圆锥的母线长为l=3，底面周长即扇形的弧长为23×3=2π，∴底面圆的半径r=1，可得底面圆的面积为2r又圆锥的高2239122hr故圆锥的体积为1222233V.12.（15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷）正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为π4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】7π【分析】由题意知，弧长为π4×8=2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r=1，可得圆锥高h=37，所以容积V=13π2r×h=13π×1×37=7πcm3.13.（15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷）在直三棱柱ABC﹣111ABC中，AC=4，CB=2，1AA=2，∠ACB=60°，E、F分别是11AC，BC的中点．（1）证明：平面AEB⊥平面1BCF；（2）设P为线段BE上一点，且EP=2PB，求三棱锥P﹣11BCF的体积．第13题图Abc11【考点】平面与平面垂直的判定，三棱锥的体积．【解】（1）证明：在△ABC中，∵AC=4，BC=2，∠ACB=60°，由余弦定理得AB=23，∴2AB+2BC=2AC，∴AB⊥BC．由已知AB⊥1BB，1BB∩BC=B，∴AB⊥平面11BBCC．又∵AB⊂平面ABE，故平面ABE⊥平面11BBCC，即平面AEB⊥平面1BCF．（2）取11BC的中点H，连结EH，则EH∥AB且EH=12AB=3，由（1）AB⊥平面11BBCC，∴EH⊥平面11BBCC，∵EP=2PB，∴11PBCFV=1311EBCFV=131311BCFSEH△=239．第13题图Abc1214.（15南京一中等五校联考）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于______．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】15π【分析】设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴21π33π12π3hh，即h=4，∴圆锥的母线长2222345lrh，∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，故答案为：15π．