空间解析几何与向量代数

第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、教学目的、要求：1、理解掌握向量的基本概念和三种运算（加减运算、数乘运算），以及向量的坐标表示法；2、了解空间直角坐标系的有关概念和距离公式；3、理解单位向量、方向数与方向余弦，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法；4、培养学生数形结合的观念。二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：向量的基本概念及其坐标运算。（二）教学的难点：对向量的理解以及其运算的坐标表示。三、教学的内容：（一）、向量概念（1）向量：在研究力学、物理学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向。例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量。（2）向量的符号：以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB。向量可用粗体或者加箭头字母表示，例如，a、r、v、F或a、r、v、F。（3）自由向量：起点无关的向量称为自由向量，简称向量。因此，如果向量a和b的大小相等，且方向相同，则说向量a和b是相等的，记为ab。相等（4）向量的模：向量的大小叫做向量的模。记为||AB。（5）单位向量：模等于1的向量叫做单位向量。（6）零向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0或0。（7）向量的平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行。向量a与b平行，记作a//b。零向量认为是与任何向量都平行。（二）、向量的线性运算1、向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b，平移向量使b的起点与a的终点重合，此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和，记作a+b，即ca+b。三角形法则：上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则。平行四边形法则：当向量a与b不平行时，平移向量使a与b的起点重合，以a、b为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和。向量的加法的运算规律：(1)交换律abba(2)结合律(ab)ca(bc)注：由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量a1a2an(n3)相加可写成a1a2an并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则。2、向量的减法负向量:设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记为a。向量的减法：规定两个向量b与a的差为bab(a)。三角不等式：|ab||a||b|及|ab||a||b|，其中等号在b与a同向或反向时成立。3、向量与数的乘法向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作a，规定a是一个向量，它的模|a||||a|，它的方向当0时与a相同，当0时与a相反。当0时，|a|0，即a为零向量，这时它的方向可以是任意的。特别地，当1时，有1aa，(1)aa。运算规律：(1)结合律(a)(a)()a；(2)分配律()aaa；(ab)ab。向量的线性运算可用于描述向量共线和共面的特征。我们有如下定理:定理1向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一的实数，使得b＝a。推论向量a，b共线的充要条件是存在不全为零的实数k，m，使得ka＋mb＝0。定理2设向量a,b,c共面,并且a,b不共线,则存在唯一的一对实数k,m,使得c＝ka＋mb。推论向量a,b,c共面的充要条件是存在三个不全为零的实数mlk,,,使得0cbamlk。例1.（补）在平行四边形ABCD中，设ABa，ADb。试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD，其中M是平行四边形对角线的交点。（三）、空间直角坐标系1、坐标系在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系。注:(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则。2、坐标面在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面。x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个坐标面是yOz面和zOx面。3、卦限三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限，它位于xOy面的上方。在xOy面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限。在xOy面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限。八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示。4、向量的坐标分解式任给向量r，对应有点M，使rOM，则kjirzyxOM。上式称为向量r的坐标分解式，xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量。x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r(xyz)；x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标，记为M(xyz)。5、利用坐标作向量的线性运算设a(axayaz)b(bxbybz)，则ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)=(axbxaybyazbz)ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)(axbxaybyazbz)a(axiayjazk)(axayaz)定理3设123(,)Axxx和123(,,)Byyy是空间任意两点，则在线段AB上使得(1)AMMB的点M的坐标是331122(,,)1+11xyxyxy。推论任一向量b=123(,,)bbb与非零向量a=123(,,)aaa共线（即b∥a,a≠0）的充要条件是它们的对应坐标成比例，即312123bbbaaa。例2.（补）求解以向量为未知元的线性方程组byxayx2335，其中a(212)b(112)。例3.（补）已知两点A(x1y1z1)和B(x2y2z2)以及实数1，在直线AB上求一点M，使MBAM。（四）、向量的模、方向角、投影1、向量的模与两点间的距离公式设向量r(xyz)，则向量模的坐标表示式为：222||zyxr设有点A(x1y1z1)、B(x2y2z2)，则点A与点B间的距离为212212212)()()(||||zzyyxxABAB例4.（补）求证以M1(431)、M2(712)、M3(523)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。例5.（补）在z轴上求与两点A(417)和B(352)等距离的点。2、方向角与方向余弦方向角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时，两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角，记作^),(ba或^),(ab。如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0与之间任意取值。注：非零向量r与三条坐标轴的夹角、、称为向量r的方向角。向量的方向余弦：设r(xyz)，则x|r|cos，y|r|cos，z|r|cos。cos、cos、cos称为向量r的方向余弦。例6.（补）设已知两点)2,2,2(A)和B(1,3,0)，计算向量AB的模、方向余弦和方向角。3、向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定u轴。任给向量r，作rOM，再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M(点M叫作点M在u轴上的投影)，则向量MO称为向量r在u轴上的分向量。设eMO，则数称为向量r在u轴上的投影，记作Prjur或(r)u。按此定义，向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标axayaz就是a在三条坐标轴上的投影，即axPrjxaayPrjyaazPrjza。投影的性质：性质1(a)u|a|cos(即Prjua|a|cos)，中为向量与u轴的夹角；性质2(ab)u(a)u(b)u(即Prju(ab)PrjuaPrjub)；性质3(a)u(a)u(即Prju(a)Prjua)。四、练习与作业：习题7.11，4，5，15，17，19§8.2向量的数量积与向量积一、教学目的、要求：1、理解掌握向量的数量积、向量积的概念及几何意义，理解它们在坐标上的表示法；2、掌握两向量垂直和平行的充要条件；二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：向量的数量积、向量积的概念及其坐标表示法。（二）教学的难点：向量的数量积、向量积的具体应用。三、教学的内容：（一）、两向量的数量积1、数量积的概念数量积的物理背景:设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2。以s表示位移21MM。由物理学知道，力F所作的功为|F||s|cos，其中为F与s的夹角。定义：对于两个向量a和b，它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积，记作ab，即a·b|a||b|cos。数量积与投影：|b|cos(a^b)是向b在向量a的方向上的投影，于是a·b|a|Prjab。同理，当b0时，a·b|b|Prjba。定理1向量a,b垂直（即a⊥b）的充要条件是0ab=．定理2对任意的向量a,b,c及实数,以下运算性质成立：(1)交换律abba；(2)分配律()abcabac；(3)结合律()=()=()ababab；(4)正定性2aaa≥0而等号成立当且仅当a0。2、数量积和向量夹角的余弦的坐标表示：（1）设a(axayaz)，b(bxbybz)，则a·baxbxaybyazbz。（2）设(a^b)，则当a0、b0时，有222222||||coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa例1.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(1,2,1)，C(2,4,0)，求角B的大小。（二）、两向量的向量积1、向量积的物理背景和定义设O为一根杠杆L的支点。有一个力F作用于这杠杆上P点处。F与OP的夹角为。由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模sin||||||FMOP。而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是的按右手规则从OP以不超过的角转向F来确定的。定义：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出（1）c的模|c||a||b|sin，其中为a与b间的夹角；（2）c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来确定。那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作ab，即cab。向量积的性质：(1)aa0；(2)对于两个非零向量a、b，若ab0，则a//b反之，若a//b，则ab0。数量积的运算律：(1)交换律：abba；(2)分配律：(ab)cacbc；(3)(a)ba(b)(ab)(为数)。2、数量积的坐标表示：设aaxiayjazk，bbxibyjbzk。按向量积的运算规律可得ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)axbxiiaxbyijaxbzikaybxjiaybyjjaybzjkazbxkiazbykjazbzkk由于iijjkk0，ijk，jki，kij，所以ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成zyxzyxbbbaaakjibaaybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k例2.（补）设a(211)，b(112)，计算ab。例3.求以A（1,2,3），B（3,4,5）