空间曲线方程不同形式间的转化技巧

空间曲线方程不同形式间的转化技巧李晶晶摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性．关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性TransformationTechniquesforDifferentFormsofInter-spaceCurveEquationLiJingjing(20102112052,Class4Grade2010,Mathematics&AppliedMathematics,SchoolofMathematics&Statistics)Abstract:Spacecurveparameterequationandgeneralequationaretwoveryimportantformoftheequationofspacecurve．Theyrepresentthesamecurve,sotheycanbetransformedintoeachother．Therearemanymethodsfortheconversionbetweenthesetwokindsofforms．Thispapermainlyintroducesseveralmethodscommonlyused．Duringthetransformationprocesstoensurethatequationequivalenceandthesamesolution．Keywords:Thegeneralequation;parameterequation;interaction;equivalence;thesamesolution1引言空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1]空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．1.1平面曲线方程的形式1.1.1平面曲线的一般方程平面曲线一般方程的定义[2]当平面上取定了坐标系之后，如果方程(,)0Fxy或()yfx与一条曲线有着下列关系：满足方程的(,)xy必是曲线上的某一点的坐标；反过来，曲线上任何一点的坐标(,)xy满足这个方程，那么这个方程(,)0Fxy就叫做这条曲线的一般方程，而这条曲线叫做这个方程的图形．1.1.2平面曲线的参数方程平面曲线参数方程的定义[2]若取()tatb的一切可能取的值，满足：由12()()()rtxteyte()atb表示的向径()rt的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某一值0t0atb通过12()()()rtxteyte()atb完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线的向量式参数方程，其中t为参数．参数方程为(),(),xtyt()atb.1.2平面曲线方程不同形式间的转化1.2.1平面曲线的参数方程转化为一般方程平面曲线的参数方程转化为一般方程的方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程．下面重点介绍比较常用的代数消元法和三角公式消元法．首先是代入消元法．例1.1化物体的运动方程020cos,sin,2xvtagtyvta（0tT）为一般方程．解由方程组的第一个式子得0/(cos)txva,代入方程组第二式子得2220/(2cos),yxtgagxva即222200sin22cos0gxvaxvay．这是抛物线方程．下面介绍应用三角公式消元法．例1.2化下列参数方程为一般方程:（１）sec,,xaybtg（为常数）（２）1cos,sin,xytg（0/2）解（1）原方程即sec,,xaytgb①②22①②，得22221xyab．这是双曲线的标准方程．当2222nn，（n是整数）时，sec0xa,参数方程表示双曲线的右面一支；当32222nn时，表示双曲线的左面一支．（2）原方程即1cos,sin,xytg③④④③，得1ytgtgx．由此，ytgx．代入④得sinyyx．⑤22③⑤，得22(1)()1yxyx，即2222()(1)xyxx，(12,0)xy．1.2.2平面曲线的一般方程转化为参数方程我们也可以把平面曲线的一般方程(,)0Fxy改写为参数方程(),().xtyt一般地，根据实际情况选取参数t，找出x与参数t的关系式()xt，然后代入原方程求出()yt，那么，()xt，()yt就是曲线的参数方程．也可以先求出()yt，然后，代入原方程得出曲线的参数方程.[4]例1.3化普通方程222220xxyyxy为参数方程，其条件是2xtt．解把条件2xtt代入原方程，得22222()2()2()20ttttyytty解得2ytt或232ytt，所以曲线的参数方程为22,,xttytt（其中t为参数）或22,32.xttytt(其中t为参数)．第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当的函数关系．例1.4化平面曲线的普通方程222360xy为参数方程．解由原方程可得22236xy，即22132xy，根据三角公式22sec1tg，我们可设sec3x，2ytg，所以参数方程为3sec,2,xytg（为参数）.2空间曲线方程的形式2.1空间曲线的一般方程空间曲线一般方程的定义[3]空间曲线可以看做是两个曲面的交线．设两个曲面的方程分别为(,,)0Fxyz和(,,)0Gxyz，它们的交线为C．因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0,(,,)0.FxyzGxyz（2.1）反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（2.1）．因此，曲线C可以用方程组1（）来表示，方程组1（）叫做空间曲线C的一般方程.例2.1方程组22216,2,xyzz表示什么曲线？解此方程组是以原点为球心，以4为半径的一个球面被平面2z所截后得到的截口曲线，这一曲线表示的是圆2212,2.xyz也可以理解为中心轴是z轴的圆柱面2212xy被平面2z所截后得到的截口曲线．2.2空间曲线的参数方程空间曲线参数方程的定义[3]空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C上动点的坐标,,xyz表示为参数t的函数(),(),().xxtyytzzt（2.2）当1tt时，就得到C上的一个点111(,,)xyz；随着t的变动便可得曲线C上的全部点．方程组（2.2）叫做空间曲线的参数方程.例2.2一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，这个动点的轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线的方程．解设动点M在半径为R的圆柱面222xyR上以角速度做圆周运动．同时又以线速度沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点M的运动轨迹就是圆柱螺旋线．先建立空间直角坐标系．设动点由0M出发经时间t运动到点(,,)Mxyz．记M在xOy面上的投影为'M，它的坐标为(,,0)xy，由于动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，所以经过了时间t后，0'MOMt，从而，0'cos'cos,xOMMOMRt0'sin'sinyOMMOMRt．又由于动点同时沿平行与z轴的正方向匀速上升，线速度为，所以'.zMMt因此，圆柱螺旋线的参数方程为cos,sin,,xRtyRtzt0t．令t，而t，则圆柱螺旋线可用作参数方程表示，即cos,sin,,xRyRzb0．这里 b．3空间曲线方程不同形式的互化空间曲线的参数方程与一般方程是建立在平面曲线方程的基础之上的．因此，我们类比平面曲线方程两种形式间的转化方法得出空间曲线不同形式间的转化方法．3.1空间曲线的参数方程转化为一般方程将空间曲线的参数方程化为一般方程应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．下面重点介绍空间曲线的参数方程化为一般方程的代入消元法和三角公式消元法．3.1.1代入消元法将空间曲线的参数方程转化为一般方程时，代入消元法是最常用的一种方法，同时也是最基本的一种方法．例3.1一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹的一般方程．解由例2．2可知动点轨迹的参数方程为cos,sin,,xRyRzb0．接下来，我们将此参数方程转化为一般方程．我们运用代入消元法消去参数，由zb得出zb，然后代入cosxR或sinyR，可得coszxRb或sinzyRb．又由cosxR和sinyR得到222xyR．因此，动点运动轨迹的一般方程为222,sin,xyRzyRb或222,cos.xyRzxRb例3.2化空间曲线的参数方程261,1(1),22,3xtytzt为一般方程．解由3可知2zt，将2zt代入1（）和(2)得空间曲线的一般方程为231,1.2xzzy由例3.1，3.2可以看出对于某些形式的参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便．3.1.2三角公式消元法三角公式消元法的运用也非常广泛．例3.3化下列空间曲线的参数方程（1）3sin,5sin,4cos;xyzⅰⅱⅲ(02)（2）sec,,2sec.xytgzⅳⅴⅵ(02)为一般方程．解由,,ⅰⅱⅲ可知：sin35xy，cos4z，又因为22cossin1,因此曲线的一般方程为22,351.2516xyyz（2）由,,ⅳⅴⅵ得：sec2zx，tgy，因为22sec1tg，所以曲线的一般方程为22,21.zxxy综上所述，将空间曲线的参数方程化为一般方程的方法很多，应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．3.2空间曲线的一般方程转化为参数方程将空间曲线的一般式方程12(,,)0,(,,)0,FxyzFxyz化为参数方程(),(),(),xxtyytzzt是一个难点．将空间曲线的普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说是十分重要的．当我们选取不同的参数时，同一曲线的参数方程就可以有不同的形式．选取恰当的参数，方程将会有比较简单的形式．我们采取的方法一般是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数t的方程，然后再代入空间曲线的一般方程，从而得到曲线的参数方程．将空间曲线的一般方程转化为参数方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可