立体几何基础训练题

立体几何基础训练题一平面的基本性质，平行与垂直的判定及性质1下列四个命题中，真命题的个数为(A)（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若M，M，l，则lM；（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1B．2C．3D．42设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的BA．充要条件B.充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件3给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面,的四个命题：①,,,mlAAmlm则与不共面；②l、m是异面直线，//,//,,,lmnlnmn且则；③若,,,//,//,//lmlmAlm则；④若//,//,//,//lmlm则，其中假命题是④。4如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且22EF，则下列结论中错误．．的是（D）A．ACBEB．//EFABCD平面C．直线AB与平面BEF所成的角为定值D．异面直线,AEBF所成的角为定值5已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：（B）①∥,lm②l∥,m③l∥,m，④lm∥.其中正确的两个命题是（A）①与②（B）①与③（C）②与④（D）③与④6、若//l，A，则下列说法正确的是（B）A．过A在平面内可作无数条直线与l平行B．过A在平面内仅可作一条直线与l平行C．过A在平面内可作两条直线与l平行D．与A的位置有关7、在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DABCPMDF的长度的取值范围为(A)A．[15，1)B．[15，2)C．[1，2)D．[15，2)二、棱柱与棱锥性质8、设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中假命题的序号是(C)A．①B．②③C．①②③D．③④9在正四面体ABCD的面上，到棱AB以及C、D两点的距离都相等的点共有（B）A．1个B．2个C．3个D．4个三、空间角与空间距离问题10、两二面角的的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是（D）A．一定相等B．一定互补C．一定相等或互补D．以上都不对11、直三棱柱111ABCABC中，若1,2BACABACAA,则异面直线1AB与1CA所成的角等于CA.6B.4C.3D.212、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线A1B与平面BC1D1所成角的正切值为（C）（A）22（B）12（C）33（D）313、如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（B）A.71B.71C.21D.2114、在二面角l中，,,,,BDAClBlA且,,lBDlAC已知,1AB2BDAC,5CD,则二面角l的余弦值为▲1215、已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为1，则BC1与DB1的距离为（C）A．6B．36C．66D．6216、正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是.17、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为.四、球面距离，体积，表面积的计算18、四面体ABCD的外接球球心在CD上，且2CD，3AB，在外接球面上两点AB，间的球面距离是23；19、已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为（A）A.26B.36C.23D.2220.四面体BCDA中，,5,4BDADACBCCDAB则四面体外接球的表面积为（A）A．33B．43C．36D．1821、已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于（A）A．4B．3C．2D．22已知正四棱锥SABCD中，23SA，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（C）A．1B．3C．2D．323已知球的直径SC=4，A,B是球面上的两点AB=2,∠BSC=∠ASC=45。则棱锥S-ABC的体积是（C）A33B332C334D335五、综合大题24、在直三棱柱111ABCABC中，12,22ACBCAA∠ACB=90°,Ｍ是1AA的中点，Ｎ是1BC的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面111ABC；（Ⅱ）求点1C到平面BMC的距离；（Ⅲ）求二面角11BCMA的平面角的余弦值大小。25、如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，BCAB，BCCDAB22，EAEB．EADCB（1）求证：ABDE；（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（3）线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．26、如图，在四棱锥-BAEFP中，AE底面BEFP，BEEF，3EBP，1AE，2BEFAPB，（1）求直线AE与平面ABP所成角的大小；（2）求二面角BAPF的余弦值；1A2B3④4D5B6B7A8C9B10D11C12C13B141215C1617182319A20A21A22C23C24（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D∴DN∥BB1∥AA1又DN＝MAAABB1112121∴四边形A1MND为平行四边形。∴MN∥A1D又MN平面A1B1C1AD1平面A1B1C1∴MN∥平面111CBA(2)因三棱柱111CBAABC为直三棱柱，∴C1C⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1在平面ACC1A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到平面BMC的距离。在等腰三角形CMC1中，C1C=22,CM=C1M=6∴33411CMACCCHC.(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，∴BE⊥C1M,∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=334,∴tan∠BEC=23CEBC∴cos∠BEC=772.二面角AMCB1的平面角与∠BEC互补，所以二面角AMCB1的余弦值为772法2：（1）同上。如图所示建系，（2）可得，1(2,0,0),(0,2,0),(0,0,22)BAC,(0,2,2),M,设(,,)nxyz是平面BMC的法向量，C1点到平面BMC的距离h。可求得一个法向量为(0,1,2)n，1(0,2,2)CM,1433CMnhn（3）可知(2,0,0)CB是平面11CAM的法向量，设111(,,)mxyz是平面1BMC的法向量，求得一个法向量(2,1,2)m设是为二面角11BCMA的平面角,则27cos7CBmCBm，又因为二面角11BCMA的平面角是钝角，所以27cos7。25、解：（1）证明：取AB中点O，连结EO，DO．因为EAEB，所以ABEO．因为四边形ABCD为直角梯形，BCCDAB22，BCAB，所以四边形OBCD为正方形，所以ODAB．所以AB平面EOD．所以EDAB．（2）解法1：因为平面ABE平面ABCD，且BCAB，所以BC⊥平面ABE则CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，a2BE，所以a3CE则直角三角形CBE中，3331sinCECBCEB，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33．解法2：因为平面ABE平面ABCD，且ABEO，所以EO平面ABCD，所以ODEO．由OEODOB,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO．因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OEODOBOA，设1OB，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)OABCDE．所以)1,1,1(EC，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD．设直线EC与平面ABE所成的角为，所以||3sin|cos,|3||||ECODECODECOD，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33．（3）解：存在点F，且13EFEA时，有EC//平面FBD．证明如下：由)31,0,31(31EAEF，)32,0,31(F，所以)32,0,34(FB．设平面FBD的法向量为v),,(cba，则有0,0.BDFBvv所以0,420.33abaz取1a，得)2,1,1(v．因为ECv0)2,1,1()1,1,1(，且EC平面FBD，所以EC//平面FBD．即点F满足13EFEA时，有EC//平面FBD．本试题主要是考查了空间几何中点，线，面的位置关系的运用。（1）取AB中点O，连结EO，DO．因为EAEB，所以ABEO．同时得到ODAB．根据AB平面EOD．得到EDAB（2）因为平面ABE平面ABCD，且BCAB所以BC⊥平面ABE，则CEB即为直线EC与平面ABE所成的角（3）假设存在点F，且13EFEA时，有EC//平面FBD，建立直角坐标系来证明。26(1)、因为AE底面BEFP，所以,,AEBEAEEF又有BEEF，所以,,AEBEEF三条直线两两垂直，以E为原点，,,EBEFEA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，在图2中，1AE，2BE，又2AF，,AEEF所以3EF所以(0,0,0)E，(0,0,1)A，(2,0,0)B，(0,3,0)F，又2PB，3EBP，所以(1,3,0)P∴(2,0,1);(1,3,1)ABAP，(0,0,1)AE设(,,)nxyz平面ABP的一个法向量，∴200300xzABnxyzAPn令3x，则6,3zy所以(3,3,6)n设直线AE与平面ABP所成的角为，∴||63sin2||||43AEnAEn所以直线AE与平面ABP所成的角为600(2)设(,,)mabc平面AFP的一个法向量(0,3,1);(1,3,1)AFAP030030AFnbcAPnabc∴0a，令3b，则3c，得(0,3,3)m∴217cos,8||||4323nmnmnm,由图观察可知二面角BAPF为钝角，所以二面角BAPF的大小余弦值为78