第02章习题分析与解答

第二章质点动力学习题解答1第二章质点动力学习题解答2-1如题图2-1中(a)图所示,质量为m的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为(D)(A)gsinθ(B)gcosθ(C)gtanθ(D)gcotθ2-2用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小(A)(A)不为零,但保持不变(B)随FN成正比地增大(C)开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变(D)无法确定2-3一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率(C)(A)不得小于gRμ(B)必须等于gRμ(C)不得大于gRμ(D)还应由汽车的质量m决定2-4如习题2-4图所示，一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中，则(B)(A)它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C)它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D)它受到的合外力大小不变,其速率不断增加2-5习题2-5图所示，系统置于以a＝1/4g的加速度上升的升降机内,A、B两物体质量相同均为m，A所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力，则绳中张力为(A)(A)5/8mg(B)1/2mg(C)mg(D)2mg2-6对质点组有以下几种说法：(1)质点组总动量的改变与内力无关；(2)质点组总动能的改变与内力无关；(3)质点组机械能的改变与保守内力无关．下列对上述说法判断正确的是(C)习题2-4图Aa习题2-5图B第二章质点动力学习题解答2(A)只有(1)是正确的(B)(1)、(2)是正确的(C)(1)、(3)是正确的(D)(2)、(3)是正确的2-7有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则(D)(A)物块到达斜面底端时的动量相等(B)物块到达斜面底端时动能相等(C)物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒(D)物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒2-8对功的概念有以下几种说法：(1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加；(2)质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零；(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以两者所作功的代数和必为零．下列上述说法中判断正确的是(C)(A)(1)、(2)是正确的(B)(2)、(3)是正确的(C)只有(2)是正确的(D)只有(3)是正确的2-9如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B，置于光滑桌面上，A和B之间连有一轻弹簧。另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B之上，且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零。首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧被压缩，然后撤掉外力，则在A和B弹开的过程中，对A、B、C、D以及弹簧组成的系统，有(D)(A)动量守恒,机械能守恒(B)动量不守恒,机械能守恒(C)动量不守恒,机械能不守恒(D)动量守恒,机械能不一定守恒2-10如习题2-10图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出。以地面为参考系，下列说法中正确的说法是(C)(A)子弹减少的动能转变为木块的动能(B)子弹-木块系统的机械能守恒(C)子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D)子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热习题2-9图习题2-10图m第二章质点动力学习题解答32-11质量为m的物体放在质量为M的物体之上，M置于倾角为的斜面上，整个系统处于静止，若所有接触面的摩擦系数均为，则斜面给物体M的摩擦力为（）。2-12在合外力的作用下，质量为6kg的物体沿轴运动，若时物体的状态为，，则物体运动了时其加速度大小为（），速度大小为（）。2-13一质量为m的质点在力的作用下（式中t为时刻），从静止开始()作直线运动，则当时质点的速率等于（0）。2-14质量的物体，从静止开始沿固定的圆弧轨道下滑，如题图2-14所示。已知圆弧轨道半径为mR4，物体滑至轨道末端b时的速率为，求摩擦力的功。分析根据动能定理，在小球下落过程中，摩擦力与重力在轨道切线方向的分力做功，轨道法向分量与轨道支持力不做功。bafbbabaabbaJfdrWmfdrdmgrmmdrfmg4.4221sin2121sin2222-15：删除。2-16一质量为10kg的质点，在力(N)作用下，沿一直线运动。在t=0时，质点在m处，其速度为m/s。求这质点在以后任意时刻的速度和位置。分析这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v(t)；由速度的定义v＝dx/dt,用积分的方法可求出质点的位置．解因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有Oab习题2-14图第二章质点动力学习题解答4tmtdd40120v依据质点运动的初始条件,即t0＝0时v0＝6.0m·ｓ-1,运用分离变量法对上式积分,得ttt0d0.40.12d0vvvv＝6.0+4.0t+6.0t2又因v＝dx/dt,并由质点运动的初始条件：t0＝0时x0＝5.0m,对上式分离变量后积分,有txxtttx020d0.60.40.6dx＝5.0+6.0t+2.0t2+2.0t32-17质量为m的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是vm。试计算从静止加速到vm/2所需时间以及所走过的路程。分析该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr＝kv2,且Fr又与恒力F的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．解设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有tmkFdd2vv(1)当加速度a＝dv/dt＝0时,摩托车的速率最大,因此可得k＝F/vm2(2)由式(1)和式(2)可得tmFmdd122vvv(3)根据始末条件对式(3)积分,有mmtFmtvvvv2101220d1d则3ln2Fmtmv又因式(3)中xmtmddddvvv,再利用始末条件对式(3)积分,有mmxFmxvvvv2101220d1d。则FmFmxmm22144.034ln2vv第二章质点动力学习题解答52-18沿半球形碗的光滑的内面，质量为m的小球以角速度在一水平面内作匀速圆周运动，如题图2-18所示。碗半径为R，求小球作匀速圆周运动的水平面离碗底高度为多少？分析维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力FN的分力来提供的,由于支持力FN始终垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示Oxy坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底的高度．解取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示．在图示坐标中列动力学方程θωmRmaθFnNsinsin2(1)mgθFNcos(2)且有RhRθcos(3)由上述各式可解得钢球距碗底的高度为2ωgRh可见,h随ω的变化而变化．2-19火车在平直轨道上以匀加速度向前行驶。在车中用悬线挂一小球，悬线与竖直方向成角而静止，如图2-19所示，试分别以地面和车厢为参照系求角。分析以地面为参照系，是惯性参照系，直接运动用牛顿第二定律；以车厢为参照系，由于车厢加速运动，不是惯性参照系，因此不能直接运动牛顿第二定律。以地面：小球受到重力和拉力的作用，其合力产生加速度a即：sin;cosTmaTmgamTG最终结果为gaarctg以车为参考系，小球相对于车厢静止，惯性力为F，则惯性力、拉力以及重力的合力平衡m1m2a1习题2-21图a习题2-19图m1m2习题2-20图rRNm习题2-18图第二章质点动力学习题解答6sincosTmaFmgT，结果同样是gaarctg2-20如图2-20所示，绳从圆柱体中m1中的小孔内穿过，已知绳与圆柱体有摩擦，且圆柱体相对于绳子向下滑动的加速度为a。求m2对地的加速度及绳子的张力。分析：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度相等，其对于m1则为牵连加速度，又知m1对绳子的相对加速度为a，故可求得m1对地加速度。解：设m1对地加速度为a2，绳的加速度为a1，则：aaa12①又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有122amTgm②211amgmT③联立①、②、③式，得2121212122)2()(mmagmmTfmmamgmma2-21如图2-21所示，升降机以向上的加速度a1运动，升降机内有一轻定滑轮。质量分别为m1和m2的两物体，由绕过定滑轮的轻绳连接,如图所示。若m1m2，求两物体相对升降机的加速度和绳的张力。分析m1向下运动，相对于地面的加速度为升降机加速度与相对于升降机的加速度矢量和，m2向上运动。分别列出动力学方程，联立求解。解：m1：111aamTgmm2：122aamgmT习题2-22图(b)(a)第二章质点动力学习题解答7上两式联立：21121mmgamma，211212mmgammT2-22一质量为m的小球最初位于如图2-22(a)所示的A点,然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑．试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力．分析该题可由牛顿第二定律求解．在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,与其相对应的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcosα．由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man．由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量．倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便．但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力．解小球在运动过程中受到重力P和圆轨道对它的支持力FN．取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得tmαmgFtddsinv(1)RmmαmgFFNn2cosv(2)由tαrtsddddv,得vαrtdd,代入式(1),并根据小球从点A运动到点C的始末条件,进行积分,有αααrgo090dsindvvvv得αrgcos2v则小球在点C的角速度为rαgrω/cos2v由式(2)得αmgαmgrmmFNcos3cos2v由此可得小球对圆轨道的作用力为αmgFFNNcos3负号表示F′N与en反向．2-23一架以3.0×102m·s-1的速率水平飞行的飞机,与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰．设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略不计．试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)．根据本题的计算结果,你对于高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会？第二章质点动力学习题解答8分析由于鸟与飞机之间的作用是一短暂时间内急剧变化的变力,直接应用牛顿定律解决受力问题是不可能的．如果考虑力的时间累积效果,运用动量定理来分析,就可避免作用过程中的细节情况．在求