第02章复变函数的积分

《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-1第二章复变函数的积分基本要求：1．正确理解复变数函数路积分的概念；2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义；3．理解并会熟练运用柯西公式。教学内容：§2.1复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。§2.2柯西定理。柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。§2.3不定积分*。原函数。§2.4柯西公式。柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求）本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-2§2.1复变函数的积分（一）复变函数的积分（简称复积分）1.复积分的定义曲线l是分段光滑曲线（起点0()Az，终点()nBz）；()fz在l上连续；（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。把曲线l分成n小段，1kkzz是第k小段，在1[]kkzz上任取一点k，求和111()()=()nnkkkkkkkfzzfz，当n而且每个kz都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个k的选取无关，则这个和的极限称为函数()fz沿曲线l从A，终点B的路积分，记作()lfzdz，即max01()lim()knkklzkfzdzfz(2.1.1)2.复积分的计算方法复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。即：()(,)(,)fzuxyivxy，dzdxidy(,)(,)(()[(,),(,)]())(,)lllluxydxvxydfzdzuxyivxydxidyiyvxydxuxydy3.复积分的性质复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性质也对路积分成立，如(1)常数因子可以移到积分号之外；()d()dllcfzzcfzz《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-3(2)函数和的积分等于各个函数的积分和；1212()()......()()().......()nnllllfzfzfzdzfzdzfzdzfzdz(3)反转积分路径，积分变号；()()llfzdzfzdz(4)全路径上的积分等于各段上的积分和。12()()()......()nllllfzdzfzdzfzdzfzdz(5)积分不等式1：()d()dllfzzfzz(6)积分不等式2：()lfzdzML其中M是()fz在l上的最大值，L是l的全长。（二）举例【例】(P24)试计算积分11RelIzdz，22RelIzdz1l，2l分别如图所示，1:(0,0)(1,0)(1,1),l2:(0,0)(0,1)(1,1)l解：1(1,0)(1,1)111(0,0)(1,0)001Re2lIzdzxdxixdyxdxixdyxdxidyi　2(0,1)(1,1)12(0,0)(0,1)01Re2lIzdzxdxixdyxdxixdyxdx　结论：一般说来，复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。xy1l2lo《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-4§2.2柯西定理本节讨论复变函数的积分与积分路径的关系，寻求积分与路径无关的条件-Cauchy定理。（一）单连通区域情形1.单连通区域在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。单连通区域的特征：属于B的任何一条简单闭曲线，在B内可经过连续变形而缩成一点。单连通区域复连通区域2.单连通区域柯西定理如果函数()fz在闭单连通区域B上解析，则在B内沿上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有()0lfzdz柯西积分定理表明，函数满足一定的条件（解析函数），则积分与路径无关。证明：由路径积分的定义：()lllfzdzudxvdyivdxudy因()fz在B上解析，因而,,,uuvvxyxy在B上连续，对实部虚部分别应用格林公式将回路积分化成面积分()(,)(,)(,)(,)lllfzdzuxydxvxydyivxydxuxydy格林公式:(1)曲线L封闭，正向；(2)(,),(,)PxyQxy具有一阶连续偏导数；则()lsQPPdxQdydxdyxyQPxy0lPdxQdy《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-500ssvuuvdxdyidxdyxyxy又u、v满足C-R条件,uvuvxyyx故()0lfzdz3.推论：如果函数()fz在单连通区域内B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是B的边界)，有()0lfzdz。（二）复连通区域情形1.复连通区域奇点：如果函数()fz在某点（或子区域）上不解析（不可导或不连续或没有定义），这样的点（或子区域）称为奇点。如果()fz在奇点0z的某个去心邻域内是解析的，则称为奇点0z为孤立奇点。复连通区域：在区域B内，如果存在奇点，为了把这些奇点部分排除在外，需要作适当的围道l1、l2、l3把它们分隔开来，形成带孔的区域，称为~。“正方向”是指，当沿内、外边界线环行时，区域总在观察者的左边。即外边界线取逆时针方向，内边界线取顺时针方向。2.复连通区域柯西定理如果函数()fz在闭复连通区域上的单值解析函数，则1()()0inllifzdzfzdz式中l为区域的外边界线，il为诸区域的内边界线，积分沿边界线的正方向进行。证明作割线连接内外边界线《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-612''''()d()d()d()d()d()d()d0lABlBACDlDCfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzz其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消，于是有12()d()d()d0lllfzzfzzfzz1()d()dinllifzzfzz即1()d()dinllifzzfzz3.推论在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数()fz，积分回路连续变形（就是说不跳过“孔”）时，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。柯西定理总结：1)闭单连通区域上的解析函数沿边界线积分为零；2)闭复连通区域上的解析函数沿所有内外边界线正方向积分为零；3)闭复连通区域上的单值解析函数沿外边界线逆时针方向积分等于沿所有内边界线逆时针方向积分之和。4）对于任一闭单连通区域或闭复连通区域上的解析函数，只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形（不跳过“孔”）时，函数积分不变。（三）举例【例】试沿区域Im()0,Re()0zz内的圆弧1z，计算积分1ln(1)1izdzz的值。解:因为ln(1)()1zfzz2111ln(1)1ln(1)ln(1)ln(1)|12iiizdzzdzzz《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-72222111[ln(1)ln2][(ln2)ln2]2224ii23ln2ln23288i【例】求积分11izzedz的值。解:函数()zfzze在全复平面内解析111111111|(1)|iizzizizizedzzeedzieee111(1)(cos1sin1)iiiiieeieeieeii(sin1cos1)ei《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-8§2.3不定积分（原函数）（一）不定积分根据Cauchy定理，若函数()fz在单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑曲线l的积分()dlfzz只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点0z而变化终点z，这个不定积分便定义了一个单值函数()Fz：0()()zzFzfd()Fz的性质：(1)()Fz在B上是解析的；(2)()()Fzfz即()Fz是()fz的一个原函数。原函数不是唯一的，但原函数之间仅仅相差一常数，这一常数决定于起点0z。可以证明：2121()()()zzfdFzFz证明：略梁昆淼P27【例】：梁昆淼(P27)计算积分（所有外边界线逆时针方向为积分正方向）().nlIzdz(n为整数)解：1)l不包围点，()nz在l所围区域上解析()0nlIzdz2)l包围点情况。a)如0n，()nz在l所围区域上解析，仍有()0nlIzdz；《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-9b)0n，()nz在l所围区域有一个奇点。在l内找一条最简单的闭合曲线，即以为圆心，以R为半径作圆周C，在C上，Reiz，(Re)Reiidzdid根据柯西定理，不管n取何种值都有21(1)0()RenninininlcIzdzReidiRed21(1)0201ie0,(1)(1)id2,(1)ninRninin总结：0(111()102(nlllnzdzin不包围)包围),11()2nnlIzadzi,mn为克罗内克（Kronecker）符号，其定义为,10mnnmnmm，n为整数【例】计算积分sinlzdz，其中l是圆周|1|1z的上半周，从0到2。解：因为函数sinz是复平面的解析函数，由柯西积分定理：它的积分与路径无关，于是可以换一条路线1l，沿实轴从0到2积分得:1sinsinllzdzzdz20sin1cos2xdx【例】计算积分2ldzzz的值，其中l为包含圆周1z在内任何正向简单闭曲线。解:因为函数21()fzzz在复平面内除0,1zz两个奇点外是处处解析的，所以在l内以0,1zz为圆心分别作两个互不包含也互不相交的正向圆周1l与2l，根据复连通区域柯西定理，得：《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-10211()(1)1llldzdzdzzzzzzz121111()()0220011lldzdziizzzz《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-11§2.4柯西公式+解析函数是一类具特殊性质的函数，特殊性表现之一是，在解析区域各处的函数值并不相互独立，而是密切相关，这种关联的表现之一就是Cauchy积分公式（一）柯西公式本节介绍一个重要公式1.柯西公式如果函数()fz在闭单连通区域B上解析，l为B的边界线，为B内的任一点，则有柯西公式1()()2lfzfdziz(2.4.1)证明(2.4.1)式根据(2.3.4)有()d1()()d2i2illfzffzzz为了证明(2.4.1)式只要，只需要证1()()02lfzfdziz因为在B内，z是被积函数的奇点，用与P35图2类似的方法，以为圆心，以为半径作小圆周C，在圆周C上，z()()()()lCfzffzfdzdzzz对右端值作一估计max()()()()2Cfzffzfdzz因0lim()()fzf，于是00()()limlim2max()()0Cfzfdzfzfz《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编2-12故必有()()0lfzfdzz即证得1()()2lfzfdziz柯西公式的一般形式改变记号,zz1()()2lffzdiz(2.4.3)2.柯西公式的意义：这个公式的重要意义是将解析函数在任一内点的值()f用沿边界线的回路积分表示了出来。3.复连通区域的柯西公式如果函数()f