第02章平面问题的基本理论_1.

第二章平面问题的基本理论本章将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内容如下：1、两类平面问题的定义；2、关于一点应力状态的分析；3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理方程；4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及圣维南原理的应用；5、按位移求解方法和按应力求解方法；本章学习指南为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求做到：1、清楚地了解上述有关问题的提出与分析的方法；2、自己动手推导公式，以加深理解；3、及时对内容进行总结，掌握其要点；本章学习指南平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.1平面应力与平面应变问题任何一个弹性体是空间物体，外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。空间问题的简化与近似：当弹性体具有特殊形状、承受特殊的外力与约束时，可进行简化，使得分析与计算工作量大大减少，所得结果仍然可以满足工程精度要求。平面问题哪些问题可简化为平面问题？1、平面应力问题平面应力问题条件：很薄的等厚度薄板，厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。其所受体力、面力和约束均平行于板面，即只是Oxy面内的量，并沿厚度方向不变。薄板的两个表面不受任何外力和约束的作用。1、平面应力问题构件几何特征：很薄的等厚度薄板。厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面。表面面力边界条件：表面不受外力作用外力与约束：其所受体力、面力和约束均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。因此应力沿厚度方向不变。因此只剩下Oxy面内的三个应力分量，且只是坐标x,y的函数，沿厚度方向Oz不变，即应力分量分布特点：由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，同时应力沿厚度还是连续分布的，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以板中各点均有：1、平面应力问题应变分量分布特点：应变分量也只是坐标x,y的函数，沿厚度方向Oz不变。且gzx=gzy=0，但ez≠0，这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。但是由于平板很薄，这种畸变也是很小的。1、平面应力问题平面应力问题小结：1、平面应力问题，就是只有平面应力分量（sx，sy和txy）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题。2、厚度较薄的浅梁和深梁、受上部荷载及自重的墙、平板坝的平板支墩等，都属于平面应力问题。2、平面应变问题平面应变问题条件：弹性体为等截面的很长柱体，体力、面力和约束条件均平行于横截面且不沿长度方向变化，即只有Oxy平面内的体力、面力和约束，且沿z方向不变化。2、平面应变问题构件几何特征：具有很长纵向轴的柱形体，横截面大小和形状沿轴线长度不变位移失量分布特点：只沿x和y方向移动，沿轴线方向位移为0，即u=u(x,y)v=v(x,y)w=0外力与约束：体力、面力和约束与纵向轴垂直，即平行于横截面，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束；2、平面应变问题应变分量分布特点：应变分量为坐标x,y的函数，沿z方向为0，即ez=gxz=gyz=0，只剩下oxy平面内的三个应变分量。应力分量分布特点：应力分量也是坐标x,y的函数，沿z方向的切应力为0，即txz=tyz=0。由于沿z方向的伸缩要受到约束，故sz≠0。2、平面应变问题平面应变问题小结：1、平面应变问题，就是只有平面应变分量（ex，ey和gxy）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题。2、挡土墙、很长的管道和隧洞问题，尽管不是无限长，但对于离开两端较远处，可按平面应变问题来分析计算，结果在工程上是可用的。平面问题的总结名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量应力sx、sy、txysz=txz=tyz=0sx、sy、txysz≠0txz=tyz=0应变ex、ey、gxyez≠0gxz=gyz=0ex、ey、gxyez=gxz=gyz=0位移u、vw≠0u、vw=0外力体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿板厚均布体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿z轴不变形状等厚度薄板等截面长柱体平面问题的总结平面问题特点：1、基本未知量为8个，均为平面（oxy面）内的物理量；2、所有未知量仅是x和y两个变量的函数；3、相对于空间问题，其基本物理量、基本方程均减少，使得它比一般空间问题简单得多；4、主要有两类：平面应力、平面应变例题例1：（本章习题2－1）如果某一问题中，sz＝tzx＝tzy=0，只存在平面应力分量sx，sy和txy，且它们不沿z方向变化，仅为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？例2：（本章习题2－3）如图2－11，试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平面应力的情况。例题例3、如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？平面应力问题薄板弯曲问题平面应变问题空间问题空间问题平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.2平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力分量与体力分量之间的关系。如图，在弹性体内任一点取一微小的正平行六面体，其x、y方向的尺寸分别为dx、dy，为计算方便，设它在z方向的尺寸为单位长度1。平面问题的平衡微分方程由于六面体是微小的，各面上的应力可认为是均匀分布，且作用于对应面的中心。同理，六面体所受的体力也可以认为是均匀分布，且作用于它的体积的中心。一般而论，应力分量是变量x和y的函数，作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同，具有微小的差量。平面问题的平衡微分方程2、由通过中心C点并平行于z轴的直线为转轴，列出力矩的平衡条件，并利用小变形假设，可推导出“切应力互等定理”，即txy=tyx3、由x轴和y轴两个方向的平面力系的平衡条件，可推导出“平衡微分方程”，即0000yxyyxyxxyxfxyfyxFFtsts1、利用连续性假设，根据Taylor级数展开式，略去高价项，可求出各面上的应力分量。平衡微分方程：注意事项列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力；应用了两个基本假设：连续性假设（不同面间应力分量采用泰勒级数展开）和小变形假设（受力变形前后微分体尺寸不变），这也是其适用的条件。平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第一式的各项为x方向的力，第二项为y方向的力；平衡微分方程：注意事项平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同(平面应变问题中的正应力sz不影响方程的推导)平面问题的平衡微分方程有2个方程，但包含有3个未知函数，只根据静力学条件无法定解，即是超静定的。要想定解，还必须考虑几何学和物理学方面的条件。平衡微分方程表示了平面区域内任意点的微分单元体的平衡条件，必然保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的，因而所考虑的静力学条件是严格和精确的；例题例2.2.1：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l，其上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据材料力学中的应力表达式，由平衡微分方程导出另两个应力分量。yxlhq330x2s例题0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhqtst解：（1）将sx代入平衡微分方程第一式02330xyxxxfyxyxlhqtss)()(2330xgyxfxylhqys)(32230xfyxlhqxyt（2）将txy代入平衡微分方程第二式平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.3平面问题中一点应力状态分析应力是与作用面有关的。sx，sy和txy作为基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过此点的任意斜面上的应力p。而斜面上的全应力又可以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切向分解为正应力sn和和切应力tn（右图）。§2.3平面问题中一点应力状态分析1：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p？2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力sn和切应力tn？3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上的主应力s和应力主方向a？4：求经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值？一点应力状态分析就是求解上述有关应力分量，具体为：已知任一点处坐标面上的应力分量sx，sy和txy，求解如下四个问题：过一点任意斜面的全应力问题1：已知任一点处坐标面上的应力分量sx，sy和txy，求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p？取如图所示的微分三角板或三棱柱PAB，当平面AB无限接近于P点时，该平面上的应力即为所求。根据该微分单元的力系平衡条件，在x和y轴方向上合力为0，从而有：mlpmlpFFyxyyxyxxyxstts00过一点任意斜面的正应力与切应力问题2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力和切应力？平面AB上的正应力sn即为上面所求的全应力p向法线方向n的投影：平面AB上的切应力tn即为上面所求的全应力P向切线方向的投影：yxnmplpsyxnlpmpt222nyxnppst或过一点任意斜面的主应力与主方向问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上的主应力s和应力主方向a？设如图所示的斜面上切应力为0，则该面上的全应力等于正应力，也等于主应力，于是有mmpllpnynxssss又由于有mlpmlpyxyyxyxxstts过一点任意斜面的主应力与主方向从而有关于方向余弦l,m的线性方程组：0)(0)(mlmlyxyxyxssttss有yxyxyxlmssttss0212IIss221xyyxyxIItssss展开得平面问题的主应力特征方程：由求根公式有：2222112,1)2(224xyyxyxIIItsssss过一点任意斜面的主应力与主方向下面求应力主方向。xyxlmtssa1111tan将所求主应力s2代入第二个方程：yxylmssta2222tan0)(0)(mlmlyxyxyxssttss两个应力主方向是相互垂直的将所求主应力s1代入第一个方程：过一点任意斜面的应力极值问题4、已知任一点处两个主应力s1和s2，及其应力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值。为了分析简便，选取x轴和y轴分别与两个应力主方向一致，则该点的应力分量为sx=s1，sy=s2，txy=0先求正应力的极值。上式代入正应力公式（2－4），并利用两个方向余弦平方和为1，得sn=(s1-s2)l2+s2由此可知，两个主应力就是正应力的最大和最小值。过一点任意斜面的应力极值再求切应力的极值。将sx=s1，sy=s2，txy=0代入切应力公式（2－5），并利用两个方向余弦的平方和为1，得由此可知，当l2=0.5，s1≥s2时，切应力的最大和最小值如下，其作用平面的法线方向与x轴和y轴成45°角：221212)21(41)