第0章随机过程与马尔可夫链习题

湖北大学计信学院蒋碧波1信息论与编码课程习题1——预备知识概率论与马尔可夫链一、概率论部分1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？2、已知随机变量X和Y的联合分布律如又表所示，且YXYXgZ211,，YXYXgZ/,22，求：1）1Z的分布律与数学期望2）2Z的分布律与数学期望3）1Z大于10的概率4）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。3、已知随机变量X的概率密度函数为axbaxorbxxfabX10)(，其中10,3ba，2XXgY为X的函数，求：1）随机变量X小于或等于5的概率2）随机变量Y的概率密度函数3）随机变量Y大于10的概率4）随机变量Y的数学期望4、已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为143120(,)0XYxandyfxyothers，YXYXgZ2,2。1）求随机变量Z的数学期望2）求随机变量Z的概率密度函数3）结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元随机变量函数。二、随机过程部分P352T2给定随机过程(),XttT,x是任意实数，定义另一随机过程XY5610.20.320.10.4湖北大学计信学院蒋碧波21()()0()XtxYtXtx试将的均值函数和自相关函数用随机过程()Xt的一维和二维分布函数表示出来P352T3设随机过程()AtXte，0t，其中A是在区间0,a服从均匀分布的随机变量。试求()Xt的均值函数和自相关函数。P353T9,XtYttT，是互不相关的随机过程。()()()ZtatXtbtYtcx，其中(),(),()atbtcx是普通函数。求Zt的均值函数和自相关函数。三、马尔科夫链部分P374T5、设马氏链,0nXn的状态空间为1,2,3I，初始分布为111424p(0)=,,，转移概率矩阵为3144111333314412310230计算0121,2,2PXXX证明12012222,2|1PXXXpp计算122022|1pPXX计算22(2){2}pPXP375T10设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为0.20.800.200.800.20.8。试证明此链具有遍历性，并求其平稳分布（分别利用性质1和性质3求解）分析:四、奖励加分题：1、证明若齐次马氏链具有遍历性，则齐n步转移概率矩阵（n趋近于无穷大）每一列中的元素都相同。2、当具有遍历性的齐次马氏链处于平稳状态时，经过一次转移后仍处于平稳状态。