第10章粘弹性(固体)材料的本构方程(线性)

第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）88第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）1．概述a）基本的典型模型（根据流变学分类法）弹性：没有记忆（与历史无关，没有耗散），可逆的，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关。塑性：有记忆（与历史有关，有耗数），不可逆，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关，比拟元件粘性：有记忆，有耗散，不可逆，有时效，比拟元件多数的工程材料，可用上述三者之一，或三者中的某种组合来描述（在一定的条件下）。b）粘弹性材料该材料既有粘性，又有弹性。变形=瞬时效应+随时间而变化的变形（后效变，滞后部分）（弹性）（粘性流动）c）两种典型的特性试验弹性：E/,00，若,10则FE/1（柔度）0,E，若10，则E（模量）粘弹性：)(),tEt（由于)t增加，则)(tE减小，材料软化）)(),10tFt蠕变柔量松驰实验：0)()(,tEt)(),10tEt松驰模量线性粘弹性本构方程，用叠加原理。有三种表述形式：微分算子型，积分型——遗传积分，复数型（本次不介绍）。2．微分算子型：（a）两个基本的比拟模型（非其正的材料模型，用于定性的说明）①Maxwell模型eeE为元件的本构方程系统的本构方程：（与的关系）E第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）89eeeeE,,则：E（接近于粘弹性流体）②Kelvin（Voigt）模型元件的本构方程：eeEee系统的本构方程：则：E（接近于粘弹性固体）（b）推广到一般情况：定义：0d:dPrprrpt0d:dtQrprrq[)][)]PQtt为微分算子型本构方程。其中：rrqp,为材料常数，若rrqp,与时间无关，则称材料无老化。对于Kelvin材料：10p，（其余为零）10,qEq，其余为零。对于Maxwell模型Epp1,10，其余为零。11q其余为零。（c）Laplace变换：设)(tf)0)(:(0,00,0)()(tftttfn同时有0d()(sefsf)(d()(d()(0)()()(0sfsrffssfefsfnsnnss对Maxwell模型)()))(1)()sFsssFsssEssS则Fssss))利用逆变换，可求出)t对于Kelvin模型：))()())ssEsssEsE第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）90或：sEss))，利用逆变换，可求)t或)(t。对于一般情况：)()(sQsP其中：qrrPrrsqsQsPsP00)()(均为多项式。则)()(sPsQ若已知))tt查表上式查表具体的方法：1）并联n个Maxwell模型)()(sPsQssnii通分2）串联n个Kelvin模型)()(11sPsQsEniii通分3．粘弹性定律，对应原理（相应原理）线弹性本构方程：kkkkijijijijkesGes3):,:(2应变偏张量应力偏张量线性粘弹性本构方程：)]([)]([)]([)]([tQtPteQtsPiiiiijij粘弹性定律这两类材料的本构方程有如下对应关系。QPOPQQPQPQPQPQGKKGEPQkPQG232339/3/2本构方程的对应原理例如：)23)tQPQPQQtE)3)]2[tQQtQPQP为一维线性粘弹性材料本构方程。n2EnE1E第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）91两类问题的解的对应原理。线弹性：iiijijkkkkijijijijijijijuupnKGeSfuuˆˆ320)(21,,线粘弹性：)(ˆ)(u)(ˆ)()]([)]([)]([)]([0)()])()([21)(i,,,tuttPnttQtPteQtsPtfttututiijijkkkkijijijijijjiij进行Laplace变换以后，有iiijijkkkkijijijijijjiijuupnsPsQesPsQsfuuˆ)()()()(0)(21,,,变换后所示的解与线性解的对应关系)()(3)()(2ˆˆˆˆsPsQKsPsQGuuPPffuuiiiiiiiiijijijij但注意：接触问题不能对应，断裂力学不能对应，因为边界在发生变化，上述只是边界条件不变时才可用。4.积分型（a）Boltzman叠加原理引入H函数0001)(tttHHto1Do)tt第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）92)totiiiiiitFttHttFttHttFtFttH)())()()()00)(()())(000Boltzman原理（b）Voltera遗传积分上面中：i无穷小，ii1：无穷小，无穷多项相加ttFttddd()称为Voltera遗传积分若当，分部积分ttttttFtFtFtFFFtdd(d))0(dd(d|(dd()（没有什么实际意义）（c）卷积分ddd(ddd()000ttFtFt则：ttFtFtddd()()（*）卷积分：设)(),tt当0t时均为零定义：tttddd)d代入（*）式，有d*)()tFt（d）)(t，以)t为独立变量。ttFtddd())(tF核心函数，材料特性函数，蠕变柔量。)tot第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）93要已知，要找出其全部历史，方可积分。以)t为独立变量，)t为响应，即状态函数。ddd()ttEt)(tE核心函数，材料特性函数，松驰模量。要已知，要找出其全部历史，方可积分。对于0t，有突变的应变情况：ttEtEEtddd()(d*)（e）三维应力状态（推广要一般）dd(d()(kltijklijtEt（*）)(tEijkl对ji,和lk,对称，但一般对),(ji和),(lk不对称，即klijijklEE所以线弹粘性材料一般有36个特征函数。对于各向同性材料：jkiljlikklijijklttttE))))(代入（*）式，有tijtklijijtttdd(d2dd(d)()t和)t称为特征函数。特例：1）均为常数ijijklij2还可化为虎克定理2）))),)tttt其中：ttHtd)(d)（0t时为无限大，0t时0)t）则：)ddd,ttt于是有：ijkkijijt2)(可模拟线性粘弹性流体本构方程。说明：1）ijijD2）要加上静水压力（不流动时也有应力）所以线性粘弹性流体的本构方程应为ijijkkijijDDPt2)(（该项为本构方程不确定应力）