第10讲图像编码之变换编码

数字图像处理技术-2016-01任课教师吴媛媛E_mail:[e-mail]第10讲图像编码之变换编码数字图像处理技术-2016-0110.1行程编码10.2正交变换编码（本章重点）10.3图像编码的国际标准图像编码中另一类有效的方法是变换编码。变换编码的通用模型如下图所示图像变换编码模型映射变换量化器编码器)(tf)(nS数字图像处理技术-2016-01主要由映射变换、量化及编码几部分操作组成。映射变换是把图像中的各个像素从一种空间变换到另一种空间，然后针对变换后的信号再进行量化与编码操作。在接收端，首先对接收到的信号进行译码，然后再进行反变换以恢复原图像。数字图像处理技术-2016-01变换编码映射变换的方法很多。图像变换编码基本可分为两大类，某些特殊的映射变换编码法，函数变换编码法。数字图像处理技术-2016-01对某些相同灰度级成片连续出现的图像（如洪水图），行程编码也是一种高效的编码方法。特别是对二值图像，效果尤为显著。在一个逐行存储的图像中，具有相同灰度值的一些像素的序列，称为一个行程。数字图像处理技术-2016-0110.1行程编码（RLE，Runlengthencoding）（一）一维行程编码对图像进行行扫描时，行内各像素的灰度级可组成一个整数序列x1,x2,…,xN。在行程编码中，我们将这个序列映射成整数对(gk,lk)，其中gk表示灰度级，lk表示行程长度，等于具有相同灰度级的相邻像素的数目。行程长度lk是一个随机变量，其分布具有很大的不均匀性。数字图像处理技术-2016-01RLE编码方法得到的代码为：“80315084180”数字图像处理技术-2016-01（二）二维行程编码一维行程编码：只考虑消除每行内像素（或水平分解元素）的相关性，未考虑行间像素（垂直分解元素）的相关性。二维行程编码考虑两个方向分解元素之间的相关性。数字图像处理技术-2016-01RLE只用存一个代表那个灰度值的码，另一个是行程的长度，而不必将相同的灰度值存很多很多次。可以想像：对于单一颜色背景可以达到很高的压缩比，但对其它类型的图像压缩比很低，最坏的情况，每一个像素都与它周围的像素不同，文件长度加倍。数字图像处理技术-2016-01适合行程编码的图数字图像处理技术-2016-01原图像文件：17464字节行程编码文件：7660字节压缩比：2.280原图像文件：66616字节行程编码文件：9272字节压缩比：7.185数字图像处理技术-2016-01实例原图像文件：72768字节行程编码文件：72972字节压缩比：0.997原图像文件：66616字节行程编码文件：67352字节压缩比：0.989数字图像处理技术-2016-01实例10．2正交变换编码变换编码中另一类方法是正交变换编码法（或称函数变换编码法）。这种方法的基本原理是通过正交函数变换把图像从空间域转换为能量比较集中的变换域。然后对变换系数进行编码，从而达到缩减比特率的目的。数字图像处理技术-2016-01正交变换编码原理框图预处理正交变换量化编码传输、存储解码反变换后处理数字图像处理技术-2016-01–编码、解码流程正向变换量化器符号编码器构造nxn的子图输入图像NxN压缩图像符号解码器逆向变换合成nxn的子图压缩的图像解压图像数字图像处理技术-2016-01–构造nxn的子图NxNnxnnxnnxnnxnnxnnxn数字图像处理技术-2016-01•变换编码的基本思想——举例52556166706164736359669010985697262596811314410466736358711221541067069676168104126886870796560707768587585716459556165838779696865767894-415-29-622555-20-137-21-62911-7-66-46877-25-30107-5-501335-15-960311-8-13-2-11-41-1013-3-102-1-4-12-12-31-2-1-1-1-2-1-10-1原始图像相应的DCT系数数字图像处理技术-2016-01正交变换编码之所以能够压缩数据率，主要是它有如下一些性质：（１）正交变换具有熵保持性质。这说明通过正交变换并不丢失信息，因此，可以用传输变换系数来达到传送信息的目的。数字图像处理技术-2016-0110.2.1变换编码的基本概念（２）正交变换有能量保持性质。这就是第三章提到的各种正交变换的帕斯维尔能量保持性质。它的意义在于：只有当有限离散空间域能量全部转移到某个有限离散变换域后，有限个空间取样才能完全由有限个变换系数对于基础矢量加权来恢复。数字图像处理技术-2016-0110.2.1变换编码的基本概念（３）能量重新分配与集中。这个性质使我们有可能采用熵压缩法来压缩数据。也就是在质量允许的情况下，可舍弃一些能量较小的系数，或者对能量大的谱点分配较多的比特，对能量较小的谱点分配较少的比特，从而使数据率有较大的压缩。数字图像处理技术-2016-0110.2.1变换编码的基本概念（４）去相关特性。正交变换可以使高度相关的空间样值变为相关性很弱的变换系数。换句话说，正交变换有可能使相关的空间域转变为不相关的变换域。这样就使存在于相关性之中的多余度得以去除。数字图像处理技术-2016-0110.2.1变换编码的基本概念综上所述，由于正交变换的结果，相关图像的空间域可能变为能量保持、集中且为不相关的变换域。如果用变换系数来代替空间样值编码传送时，只需对变换系数中能量比较集中的部分加以编码，这样就能使数字图像传输或存贮时所需的码率得到压缩。数字图像处理技术-2016-0110.2.1变换编码的基本概念10.2.2变换编码的数学模型分析设一图像信源为一向量][X1210,,NXXXXX变换后输出一向量Y,,,,1210NYYYYY取正交变换为[T]，那么[X]与[Y]之间的关系为YTX数字图像处理技术-2016-01由于[T]是正交矩阵，所以TTITT-1'这里[I]为单位矩阵，是[T]的转置，是[T]的逆。反之也有TT1YTX也就是说在编码端利用正变换得到[Y]，在译码端可用反变换来恢复[X]。数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析][][,,,,][0012100YTXYYYYYM0][Y如果在传输或存贮中只保留M个分量，MN，则可由[Y]的近似值来恢复[X]。数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析当然是[X]的近似值。但是只要选取得当，仍可保证失真在允许的范围内。][0X显然，关键问题在于选取什么样的正交变换[T]，才能既得到最大的压缩率，又不造成严重的失真。数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析因此，有必要研究一下由正交变换得到[Y]的统计特性。[Y]的统计特性中最为重要的是协方差矩阵。下面讨论一下正交变换后得到的[Y]的协方差矩阵采用何种形式。数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析当然，[X]的统计特性可以测得。,,,,1210NXXXXX设图像信号是Ｎ维向量[X]的协方差矩阵][][][][XXXXECX式中[CX]是[X]的协方差矩阵，是[X]的均值，E是求数学期望值。[]X数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析又设变换系数向量为,,,,1210NYYYYY[CY]为[Y]的协方差矩阵，所以][][][][YYYYECY式中是[Y]的均值。][Y数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析由正交变换的定义，有][][][]][[][YTXXTY因此]][][[]}[)][]])([[]{([][}][)][]])([[]]([{[})]][[]][])([][[]][{[})][]])([[]{([][TCTTXXXXETTXXXXTEXTXTXTXTEYYYYECXY数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析变换系数的协方差矩阵[CY]决定于变换矩阵[T]和空间域图像的协方差矩阵[CX]。而[CX]是图像本身所固有的，因此，关键在于寻求合适的[T]。数字图像处理技术-2016-0110.2.2变换编码的数学模型分析在研究各种变换矩阵[T]的过程中，自然要比较它们的优劣，因此，就有一个比较准则问题。下面讨论最佳变换问题。（１）最佳变换应满足的条件1).能使变换系数之间的相关性全部解除；2).能使变换系数之方差高度集中。数字图像处理技术-2016-0110.2.3最佳变换问题（２）最佳的准则常用的准则仍然是均方误差准则。均方误差由下式表示1021021021022),(),(1),(1NxNyNxNyyxfyxgNyxeNe数字图像处理技术-2016-01均方误差准则就是要使最小的变换就是最佳变换。e210.2.3最佳变换问题(４)最佳变换的实现方法K-L变换中的变换矩阵[T]不是一个固定的矩阵，它必须由信源来确定。当给定一信源时，可用如下几个步骤求得[T]：；（３）均方误差准则下的最佳统计变换均方误差准则下的最佳统计变换也叫K-L变换(KarhunenloeveTransform)。数字图像处理技术-2016-0110.2.3最佳变换问题１）给定一幅图像后，首先要统计其协方差矩阵CX２）由CX求矩阵，即。并且由求得其特征根，进而求得每一个特征根所对应的特征向量；][XEC0XEC数字图像处理技术-2016-0110.2.3最佳变换问题３）由特征向量求出变换矩阵[T]；４）用求得的[T]对图像数据进行正交变换。经过上面四步运算就可以保证在变换后使是一个对角形矩阵。这个[T]就是K-L变换中的变换矩阵。]][][[][TTXYCC数字图像处理技术-2016-0110.2.3最佳变换问题例：已知某信源的协方差矩阵为CX，求最佳变换矩阵[T]。10001101CX1解：写出λ矩阵10001101-1][XCE数字图像处理技术-2016-01例子10.2.3最佳变换问题012321,,求得011100011011)(3f计算矩阵行列式数字图像处理技术-2016-0110.2.3最佳变换问题0)(1XCEX0100011-01-1321XXXXXXXX12123000所以其基础解系为(110)求的特征向量数字图像处理技术-2016-01l1=210.2.3最佳变换问题同理21时特征向量为)100(30时特征向量为12120由上面的结果可求得T归一化后为12120数字图像处理技术-2016-0110.2.3最佳变换问题[T]便是K-L变换的变换矩阵。T12120012120010102102121021TT数字图像处理技术-2016-0110.2.3最佳变换问题最佳变换的性能固然好，但实现起来却不容易。因此，在实践中更加受到重视的是一些所谓的准最佳变换。数字图像处理技术-2016-0110.2.4准最佳变换什么是准最佳变换呢？最佳变换的核心在于经变换后能使[CY]成为对角形矩阵形式。如果能找到某些固定的变换矩阵[T]，使变换后的[CY]接近于对角形矩阵，那也是比较理想的了。