第11章图像正交变换.

问题的提出：视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。图像变换的目的：使图像处理问题简化有利于图像特征提取有助于从概念上增强对图像信息的理解第11章图像正交变换变换问题的引入•频率域幅值与频率•空间域灰度什么是图像变换将图像看成是线性叠加系统图像在空域上相关性很强图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数学变换常用的变换：傅立叶变换、沃尔什变换、哈达玛变换、离散余弦变换、离散K-L变换、小波变换11.1傅立叶变换傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。傅立叶变换的定义dxexfuFuxj2)()(若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：dueuFxfuxj2)()(函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。傅里叶变换的条件傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积;F(u)可以表示为如下形式：)()()(ujIuRuF2122)]()([|)(|uIuRuF))()(tan(arg)(uRuIu|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，)(u称为F(u)的相角。2|)(|)(uFuE)(uE称为函数f(x)的能量谱或功率谱。傅立叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。傅立叶变换在卷积中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。)(SG),(jif),(jifgfgfg),(),(),(FGFg)(1ggFFFTf离散傅立叶变换离散傅立叶变换的定义要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。1021,,2,1,0)()(NxNuxjNuexfuF离散傅立叶正变换:离散傅立叶逆变换:1021,,2,1,0)(1)(NuNuxjNxeuFNxf二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换:dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(二维傅立叶逆变换:2.二维离散函数傅立叶变换的定义根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二维离散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立叶变换为：(1)二维离散傅立叶正变换1,,2,1,0;1,,2,1,0),(),(10)(210NvMueyxfvuFMxNvyMuxjNy(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：1,,2,1,01,,2,1,0),(1),(10)(210NyMxevuFMNyxfNvNvyMuxjMuΔx、Δy和Δu、Δv，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔两者之间满足如下关系：vNyuMx11式中序列R(u，v)和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下：F(u，v)可以表示为如下形式：),(),(),(vujIvuRvuF2122)],(),([|),(|vuIvuRvuF)),(),(tan(arg),(vuRvuIvu2|),(|),(vuFvuE(1)线性特性二维离散傅立叶变换的性质)],([)],([)],(),([22111111yxfkDFTyxfkDFTyxfkyxfkDFT),()],(2211vuFkvuFk(2)比例性质=0),(1)],([abbvauFabbyaxfDFT(3)平移性质),(]),([00)(200vvuuFeyxfDFTNyvMxuj二维傅立叶变换的移位特性表明，当用乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。)(200NyvMxuje先对行做变换：然后对列进行变换f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv(4)可分离性二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换1,,2,1,01,,2,1,0),(),(210NvMxeyxfvxFNvyjNy在此基础上对x进行一维傅立叶变换1,,2,1,01,,2,1,0),(),(210NvMuevxfvuFMuxjMx若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应10)(210),(),(MuNvyMuxjNvevuFyxf1,,2,1,01,,2,1,0}]),({[102210NyMxeevuFMuNuxjMvyjNv逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换1,,2,1,01,,2,1,0)],([{)],([{),(1111NyMxvuFDFTDFTvuFDFTDFTyxfuvvu(5)周期性1,,2,1,01,,2,1,0),(),(21NvMuNkvMkuFvuF如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：(6)共轭对称性1,,2,1,01,,2,1,0),(),(*NvMuvuFvuF半周期的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱sincosryrxsincosvu做代换有：,,,Frfyxf如果被旋转,则被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：yxf,0,Fuv00,,Frf(7)旋转不变性(8)微分性质1,,2,1,01,,2,1,0),()2(]),([NvMuvuFujxyxfDFTnnn1,,2,1,01,,2,1,0),()2(]),([NvMuvuFvjyyxfDFTnnn(9)平均值性质平均值定义如下1010),(1),(MxNyyxfMNyxf),(),()0,0(1010yxfMNyxfFMxNy)0,0(1),(FMNyxf平均值性质如下：即：结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。(10)卷积定理：f(x,y)*h(x,y)=F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)=F(u,v)*H(u,v)1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf二维傅立叶变换(幅值及相位)意义左边一列:上方为原始图像,下方为本图的相关说明说明;中间一列:上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);右边一列:上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);图像的说明Fourier变换示意图Fourier变换的频率特性返回Fourier变换的低通滤波返回Fourier变换的高通滤波返回Fourier变换的压缩原理另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1Fourier变换的压缩原理返回压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1快速傅里叶变换问题的提出：离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。然而，它的计算量较大，运算时间长，在某种程度上却限制了它的使用范围。二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。改写公式：10)()(NxuxWxfuF式中，W=e-j2π／N，称为旋转因子。W=e-j2π／N=cos(2π／N)-jsin(2π／N)(以N为周期)式中很多Wux系数相同，不必进行多次重复计算。FFT的推导过程：设N为2的正整数次幂，即,2,12nNn令M=N/2,离散傅立叶变换可改写成如下形式：10)12(2)2(2101202)12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF偶离散点奇离散点uxMuxMjuxMjuxMWeeW)()(/222/222uMuxMMxMxuxMWWxfWxfuF21010)12()2()(定义1,,1,0,)12()(1,,1,0,)2()(1010MxuWxfuFMxuWxfuFMxuxMoMxuxMe10)12(2)2(2101202)12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF于是)()()(2uFWuFuFouMe将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N／2短序列的离散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe(u)和Fo(u)。)7()7()7()6()6()6()5()5()5()4()4()4()3()3()3()2()2()2()1()1()1()0()0()0(7868584838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF设N=237.2.2快速离散傅立叶变换)7()7()7()6()6()6()5()5()5()4()4()4()3()3()3()2()2()2()1()1()1()0()0()0(7868584838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFMxxMuMMMuMMxxMuMoMuMeWxf)(220)(2)2()2()()()(MxMxMuxMuMMxMxMuxMWWxf)12()2(MxuxMuMMxuxMWxfWWxf020)12()2()()(2uFWuFouMe)0()0()40(2ouMeFWFF)2()2()42(2ouMeFWFF)1()1()41(2ouMeFWFF)3()3()43(