第11章曲线积分与曲面积分

1对弧长的曲线积分1复习之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)，有21'()dsyxdx（2）对于参数方程()()xxtyyt有22'()'()dsxtytdt（3）对于极坐标方程是()rr，转成直角坐标()cos()sinxryr，则'()'cossin'()'sincosxrryrr。代入2222'()'()=()'()dsxtytdtrrd2曲线积分的概念上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。定义：01(,)lim(,)niiiiLfxydsfs3计算方法计算步骤1画出图形2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）3由L类型写出对应ds的表达式4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。如，L的方程y=k,则()LLfxdskdsks（保留。还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()xxtLyyt，则有：22(,)((),())'()'()Lfxydsfxtytxtytdt显式方程设曲线为L：y=y(x)，则有：2(,)(,())1'()Lfxydsfxyxyxdx设曲线为L：x=x(y)，则有：2(,)((),)1'()Lfxydsfxyyxydy极坐标方程设曲线为:(),([,])Lrr则有：22(,)(()cos,()sin)()'()Lfxydsfrrrrd注：常用，半径R的圆弧对应22'(0)dsRRdRd空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()xxtLyytzzt，则有：222(,)((),(),())'()'()'()Lfxydsfxtytztxtytztdt4、对称性：见重积分总结5、特别性质设在L上f(x,y)=g(x,y)，则(,)(,)LLfxydsgxyds，特别的，有(,)(,)LLfxydsgxyds此性质不能用于第二类曲线积分扩展对弧长曲线积分的应用1求柱面面积2求曲线的质心、转动惯量（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLxdsxds、LLydsyds转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)xLIyxyds3变力沿曲线做的功设平面力场的力为(,)(,)(,)xyPxyQxyFij求该力沿着曲线L从a到b所做的功。对于直线的路径ab来说功的大小是()bafxdx（这里有两个特点：1路径是直线2力的方向和位移的方向相同）4、平面流速场面积和流量计算5、平面环流场面积计算6、特别性质(,)(,)LLxydxydFrFr第二类曲线积分不具有此性质。其证明比较简单，看课本。2对坐标的曲线积分1、对坐标的曲线积分的定义：对坐标的曲线积分，分为对x坐标和y坐标的曲线积分，两者合在一起，为：0000(,)(,)(,)(,)lim(,)lim(,)LLLnniiiiiiiiPxydxQxydyPxydxQxydyPxQy2、计算方法：化为定积分求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？①作出L的图形，标出L路径的方向②写出L的方程()()xtyt,并指出起点和终点的参数，注意，，并不分谁大谁小。③把()()xtyt分别代入被积表达式，α为下限，β为上限。注意：仍然有被积函数的（x,y）须满足L方程。空间曲线计算必须化为参数方程来计算同样的，在计算时，算圆能用直角坐标很难，用极坐标就很简单3、第一类曲线积分和第二类曲线积分的区别不同点：第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，其被积函数f(x,y)仅是一个数量值。而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分，其被积函数既有大小，又有方向。相同点：第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分在力场(,)(,)(,)xyPxyQxyFij中，沿路径L从A到B，第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。有：(,)(,){,}LLLxyPxydxQxydyPQds在某点的单位切向量分量的功分量的功第一类曲线积分第二类曲线积分4、第一类和第二类曲线积分的互相转换为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds，我们将x，y改写设为参数方程。设()()xtyt，则222222222222(,)(,)(,)'(,)'=(,)'(,)''+'''(,)(,)'+''+''+'''(,)(,)'+''+'LLLLLPxydxQxydyPQdtPQdtPQdtPQds（而ds=dt）=设=''kij，则k代表着L上某点的切线方向。而22''+'、22''+'则就是切线方向的单位向量。若从切线方向上考虑，则22'cos'+'、22'=cos'+'，因此可以改为(,)(,)(,)cos(,)cosLLPxydxQxydyPQds若设2222''='+''+'τij，则结果也可以改为(,)(,)=(,)(,)LLPxydxQxydyPQdsτ而这种在转换时更方便常用一些。（见典型例题）格林公式及其应用文中全部的P，Q都代表P(x,y)，Q(x,y)格林公式定理：一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。设P（x,y）,Q(x,y)都存在一阶连续偏导数，那么则有：LDxyPdxQdydxdyPQ格林公式对L所围成的形状没有要求，只要求L是一条正向的闭曲线。（正向即走在该路径上，左手边是被积域）注意，被积P，Q不能在定义域内出现奇点，出现了，就是不可偏导的了。那么怎么办？一般使用挖洞法。上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。经过推导还有与第一类曲线积分的关系：coscosLDPQPQdxdyxy若令n为下图向量，则有：格林公式的求解考点使用格林公式的情况：格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换，因此在求曲线积分（多为第二类）或者二重积分时又多了一个格林公式这个方法。注意，曲线积分第一类又可以化为第二类，如果这样考，可能会综合一些。（当然曲线第一类也有直接跟格林公式互换的方法（见上））(加边法)求非封闭曲线的第二类曲线积分：可以加一条边成封闭曲线，再用格林公式算。算完后再减去加上的那条边的第二类曲线积分。注意：一般加的都是一些简单的直线，如加x=a或y=a等。这样减它的第二类曲线积分时非常简单，很多步都可以化为0.（挖洞法）求闭曲线内含奇点的积分：那么挖一个什么形状的洞呢？一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。如就做一个分母一样函数的椭圆。做一个2224xya格林公式的应用1、求闭区域的面积显然，令=1xyPQ即可。于是，可选P=-y,Q=x，得=2xyPQ，2=2S=LDdxdyydxxdy于是求出面积。注，该公式适合求边界曲线是参数方程的形式。已知边界曲线参数方程，求面积用此公式。曲线积分与路径无关的充要条件：曲线积分结果与路径无关，是指只与起点终点有关。其物理意义就是变力做功何时与路径无关？设L1与L2是起点终点相同的两条不同路径，则在平面连通域内与路径无关的充要条件是120LLPdxQdy，即绕闭曲线一周，曲线积分结果为0，则就与路径无关。这个方法对任何连通区域均有效。但是下面的定理仅对单连通域有效：定理：在一个单连通域G内，LPdxQdy的曲线积分与L路径无关的充要条件是：=0xyPQ因为如果等于0，则闭曲线就等于0。之所以用单连通区域，因为单连通域内一定存在偏导数。复连通区域内可能含有奇点，无法满足条件。求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？Pdx+Qdy是某函数的全微分的条件设(,)(,)(,)=uuPxydxQxydyduxydxdyxy，显然对应相等(,)=uPxyx，(,)uQxyy，而2=PuQyxyx（必要条件须构造,0,0(,)xyxyuxyPdxQdy亦可证），因此，(,)(,)PxydxQxydy是u(x,y)全微分的充要条件依旧是：=0xyPQ当然，前提是一阶连续偏导数存在，因此仍然仅在单连通域内有效。从式中可见，(,)(,)PxydxQxydy存在是u(x,y)的全微分的充要条件与坐标曲线积分路径无关的充要条件是一样的。因此，,0,0(,)xyxyuxyPdxQdy与积分路径无关。若存在这个函数，那么如何求得这个函数u(x,y)?根据上例证明时构造的,0,0(,)xyxyuxyPdxQdy，可求因为构造出来的存在，因此满足积分与路径无关，因此，自己可以选择折线进行积分，这样每条横或竖的折线总能有dx或dy=0,。如果x0，y0可以任意选，一般选择原点（得到0，0处的特解）。如果不选择原点，则结果与选择原点的结果相差一个常数C，有,0,000yy0(,)=(,0)(,)xyxyxyxyuxyPdxQdyPxydxQxydy此处要注意代入的不是，而是此处代入的是x,y这种上下限是二元的积分，按给定的具体路径积。像我们做的路径无关的，自己定制了横竖的折线去积的，之所以能导出后面的式子，是因为每条直线分别积，一个直线消去了dx=0，一个直线消去了dy=0（注：若要计算1,1110,000yy0(,)=(,0)(1,)xyxyxyxyuxyPdxQdyPxydxQxydy此处要注意代入的不是，而是注意是x1,而不是x0其实只要不跳步的用公式，而是自己画图认真算算，是不会错的，就怕背公式，还不熟，就错了）总结1：曲线积分与路径无关的等价条件设(,)(,)(,)xyPxyQxyFij是连通的开区域D上的有连续偏导数的向量场，则以下四个条件是等价的：1曲线积分LPdxQdy与路径无关2对D内任何封闭的曲线L均有L=0PdxQdy3PdxQdy是某函数u（x，y）的全微分，即PdxQdydu4{,}PQF是势场（梯度场）：即存在u(x,y)使得grad{,}{,}uuuPQxyF（即）5若D是单连通区域，则以上四个条件等价于=0xyPQ总结2求坐标曲线积分的方法1先看是否=0xyPQ，若是，说明路径无关，故可以自己选一条简单的折线积分2若与积分路径有关，但比较简单如=CxyPQ常数，则可以用格林公式转换二重积分计算。（非闭区域可以加边法）3如果12均难以满足，只能转换为定积分慢慢求了。全微分方程的解遇到求解(,)(,)0PxydxQxydy这个方程。如果恰有=0xyPQ，说明存在u(x,y)，使得(,)(,)(,)PxydxQxydyduxy，上面求u(x,y)已经说过，若存在u(x,y)，则通解是u(x,y)=C因此，通解为,0,0(,)(,)(,)=xyxyuxyPxydxQxydyC其中x0，y0自己选一个恰当的。和上面的一样。4对面积的曲面积分1对面积的曲面积分求的是空间曲面的质量（第一类曲面积分）其公式是简单的，二重积分中已经学过求空间曲面的面积，