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第十一章机械波本章前言◆本章学习目标1、理解机械波形成和传播的条件。2、掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波表达式的方法。3、了解波的叠加原理，理解波的相干条件。4、掌握两波干涉时振幅加强和减弱的条件。5、理解波的干涉、了解行波和驻波。◆本章教学内容1、机械波的产生和传播1.1横波和纵波1.2波长、频率和波速的关系2、平面简谐波的表达式3、波的能量、能流4、惠更斯原理、波的反射与折射4.1惠更斯更理4.2波的反射与折射5、波的叠加原理、波的干涉，驻波5.1波的叠加原理，波的干涉5.2驻波◆本章重点平面简谐波的波函数。波的相干条件，两波干涉时振幅加强和减弱的条件。◆本章难点相位传播与相位落后及其计算。§11.1机械波的产生和传播11.1.1机械波的产生与传播一、机械波产生的条件要产生机械波，首先要有一个振动的物体，即波的激发源，称为波源。波源的外面，还得有能够随波源而振动的介质，称为弹性介质，故机械波又称为弹性波。形成机械波必须要求介质有弹性，没有弹性或完全刚性的介质内是不能形成机械波的。在弹性介质中，各质点间是以弹性力互相联系的。已经开始振动的质点要依靠这种弹性力的作用来维持振动，还没有开始振动的质点也要依靠这种弹性力的作用而陆续介入振动，使振动的状态传播出去，形成波动。由此可见，波源和弹性介质是机械波产生的两个必要条件。二、机械波的传播我们来分析一个简单的、理想的模型，看机械波是如何由波源产生并在介质中传播的。如下图所示，一根绳子沿x轴放置，绳子的左端o点有一个波源，它在进行简谐振动。波源带动绳子，就有波不断从o点生成，并沿x轴向前传播。波的图形称为波形，对于机械波来说，波的传播过程也就是波形推进的过程。波的传播速度称为波速，观察表明，波在绳子上是匀速传播的。随着时间的延续，可以看到，波源随时间的余弦振动在空间被匀速地展开，也生成一条余弦曲线，曲线沿着波的传播方向不断向前平移。为了不分散注意力，在图中我们只作出了从t=0开始从o点发出的波形（实际上波形应该是一直向前伸延的）。在什么讨论中，有一点应该注意，就是要把波的传播速度和质点的振动速度区分开来。在图中可以看出，波速是振动状态传播的速度，它是匀速率的，波一直向前传播；而波动中介质质点的振动速度是质点的运动速度，是往复变化的，质点在平衡位置附近来回运动而并不随波逐流。下面我们定量地讨论这个模型。我们用x表示波动中各质点的平衡位置，用y表示它们振动的位移。于是，图中o点的振动方程为t=0时(见最上面一个图)，o点的相位是-π/2，它的位置在平衡位置，且在向正方向运动。到t=T/4时，o点的相位变为0，它的位移为正最大。此时o点的下一个考察点a点的位置在平衡位置，且在向正方向运动，即相位为-π/2，这正是t=0时o点的相位。到t=T/2时，o点的相位为π/2，它的位置在平衡位置，且在向负方向运动。此时a点的相位为0，a点下一个考察点b点的相位为-π/2，…到t=T时，从o点开始，沿传播的方向看过去，a、b、c、d各点的相位依次为3π/2、、π、π/2、0、-π/2，是由近及远依次落后的。机械波的形成与传播11.1.2机械波的特征从上一个知识点的图中我们可以看出谐波的传播有如下两个基本特点：1、各质点振动的周期与波源相同，都等于T，即它们在进行同频振动。2、若我们在同一时刻(例如刚才分析的t=T时刻)考察各点的相位，振动的相位是从波源开始由近及远依次落后的。若我们在不同的时刻考察同一个相位，例如-π/2这个相位，从前面的图中可以看到，t=0时它在o点，t=T/4时到达a点，然后才到b、c、d点，是在由近及远地向前推进，这就是波的传播概念。波的传播实质上是相位的传播，相位传播实质上是在描述波动中各质点之间相位的关系，它是波动中最基本的概念之一。机械波的上述特征是我们后面讨论机械波的基础。希望大家深刻理解。11.1.3横波与纵波按照波速和质点振动速度的方向之间的关系，我们可以把波分为横波和纵波两个类型。在波动中，如果质点振动的方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。如前面知识点图中的绳波就是横波，横波的图象是峰谷相间的图形。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如下图中所示，将一根弹簧水平放置，扰动弹簧的左端使其沿水平方向左右振动，就可以看到这种振动状态沿着弹簧向右传播。纵波的图象是疏密相间的图形。在空气中传播的声波也是纵波。弹簧中的纵波11.1.4描写波的物理量一、波速波的传播实际上是振动状态即相位的传播，因而，波速实际上指的是相位的传播速度，即相速度（相速）。即在介质中波源的振动在单位时间内传递的距离。波速决定于波所处介质的弹性，即介质特性决定了波速。我们有如下公式：纵波波速：横波波速：上面的式子中G和Y分别为介质的切变横量和杨氏模量，为介质的质量密度。绷紧的柔软绳索或弦线中传播的横波的速度为式中F为绳索或弦线中的张力，m为绳索或弦线单位长度的质量。在液体和气体中不可能发生切变，所以不可能传播横波。液体和气体中只能传播与体变有关的弹性纵波（液体表面的波是由重力和表面张力引起，包含纵波和横波两种成分）。在液体和气体中纵波传播速度为式中B是介质的体积模量，ρ是介质的质量密度。对于理想气体，把声波中的气体过程作为绝热过程近似处理，根据分子动理论和热力学，可推出声速公式为式中是气体的摩尔质量，γ是气体的比热容比，p是气体的压强，T是热力学温度，R是摩尔气体常量。二、振幅（波幅）波在形成后，各个质元振动的振幅叫波的振幅或波幅。除平面波外，介质中各处的波幅一般是不相等的。三、波长和频率简谐波传播时，其图象是周期性的，我们把波的同一传播线上两个相邻的同相点(相位差为2π)之间的距离称为波的波长，用l表示。由此我们可以判定，相距为整数个波长的两点的振动肯定是同相的（相差为N2π）。两个相邻的同相点之间的这一段波，我们称之为一个完整波，因而波长也即一个完整波的长度。波长描述波的空间周期性。在横波的情况下，波长l等于两相邻波峰之间或两相邻波谷之间的距离；而在纵波情形下，波长l等于两相邻密部的中心之间的距离或两相邻疏部中心之间的距离。一个完整波通过介质中一点所需的时间，叫做波的周期，用T表示。一个完整波通过这一点的过程中，该处的质点将进行一次全振动，所以波的周期就是该质点的振动周期，也即是波动中介质的所有质点振动的周期。容易理解，波速u、波长l和周期T三者之间有如下的简单关系周期的倒数称为波的频率，用ν表示。频率表示单位时间通过介质中一点的完整波的数目，或波动中介质质点的振动频率，由于，所以这是最常见的波速、波长和频率之间的基本关系式。它的物理意义是明显的，即1s内通过波线上一点的完整波的数目乘上每个完整波的长度，就等于波向前推进的速度，也就是波的传播速度(下图所示)。波长、频率和波速的关系四、波阵面和波射线我们把波动过程中，介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面，简称波面，把波面中走在最前面的那个波面称为波前。由于波面上各点的相位相同，所以波面是同相面。波面是平面的波称为平面波(如下图(a))，波面是球面的波称为球面波(如下图(b))。描述波的传播方向的有向曲线称为波射线简称波线。在各向同性的介质中，波线总是与波面垂直，且指向振动相位降落的方向。所以，平面波的波线是垂直于波阵面的平行直线，球面波的波线是以波源为中心沿半径方向的直线，沿半径向外传播的称为发散波，沿半径向球心传播的称为汇聚波。(a)平面波的波阵面和波线(b)球面波的波阵面和波线(图中只画出球面波阵面的一部分)波阵面与波射线§11.2平面简谐波的波函数11.2.1平面简谐波的波函数一、什么是波函数在波动中，每一个质点都在进行振动，对一个波的完整的描述，应该是给出波动中任一质点的振动方程，这种方程称为波动方程（或波函数）。我们知道，简谐波(余弦波或正弦波)是最基本的波，特别是平面简谐波，它的规律更为简单。我们先讨论平面简谐波在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播时的波动方程。二、平面简谐波的特点我们在上一知识点中知道，平面简谐波传播时，介质中各质点的振动频率相同。对于在无吸收的均匀介质中传播的平面波，各质点的振幅也相等。因而介质中各质点的振动仅相位不同，表现为相位沿波的传播方向依次落后，因此我们将重点讨论相位。根据波阵面的定义我们知道，在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，因而有相同的位移。因此，只要知道了任意一条波线上波的传播规律，就可以知道整个平面波的传播规律。设平面简谐波的周期为T，波长为λ，波速为u，对于波线上的两点，见下图所示，若B点比A点距离波源要远l，l称为A、B之间的波程，就是波由A点到B点所经历的路程。一个振动状态从A点传到B点需要一段时间Δt=l/u，即A点的振动到达某一状态后，要过Δt这么一段时间B点才到达这个状态，也就是说，B点的振动要比A点在时间上落后。平面简谐波的波程和相位差由于A点和B点在进行同频率的简谐振动，按前面讨论过的两个同频率振动的相位差和时间差的关系，我们可以得到A点和B点的相位差这表示B点距离波源比A点每远一个λ，相位落后一个2π。从上式我们容易判断，在同一波线上的两点，若它们的距离为整数个λ，则它们的振动同相；若它们的距离为半整数个λ，则它们的振动反相。三、平面简谐波的波动方程下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。如下图所示，设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，设O为x轴的原点。假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为推导波动方程用图现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为x。如上所述，P点和O点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比O点落后。O点到P点的波程为x，则P点的振动在时间上比O点落后，故P点的振动为也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比O点落后，故P点的振动为不难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。四、波函数的讨论1、波的传播方向与波函数在上图中，P点的坐标x为正值，如果x为负值，P点的相位应该比O点超前。把x带入波函数中，由于x是负值，这表示P点的相位确实比O点超前，可见方程的形式不会因考察点的位置而改变。在上面的讨论中，我们设波是沿着x轴正向传播的，这称为正行波。若波逆着x轴传播(反行波)，则图中的P点的相位应比O点超前，我们规定波速u始终取正值(速率)，因而波函数表达式中x前面的负号应改为正号，因而简谐波的波动方程的一般形式(通式)为式中负号对应于正行波，正号对应于反行波。方程中的φ为原点初相。2、波函数的其它形式利用关系式和，可以将平面简谐波方程改写成多种形式：我们讨论平面简谐波的时候，为了简单，往往直接把波的传播的方向作为x轴的方向，因而波动方程中x前面的符号就是负号。如果再取原点振动的位移到达正最大的时候作为计时起点，因而原点初相为零。于是波动方程化为比较简单的形式或这是波动方程常用的形式。3、振动曲线与波形曲线为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的