第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述

内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝☑多项式矩阵描述的形式☑PMD和其他描述的关系11.1多项式矩阵描述11.2多项式矩阵描述的状态空间实现11.3多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性11.4传输零点和解耦零点☑PMD的极点☑PMD的传输零点第11章传递函数矩阵的状态空间实现☑不可简约PMD☑PMD的解耦零点内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝本章主要内容11.5系统矩阵☑系统矩阵的概念☑增广系统矩阵11.6严格系统等价☑严格系统等价的定义☑严格系统等价变换的性质内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.1多项式矩阵描述（PMD）一、PMD定义PMD(polynomialmatrixdescriptions)是对线性时不变系统引入的具有更广普遍性的一类描述。设一系统输入u为p维，输出y为q维，描述内部状态的向量为m维。11111)()()()()()()()()(ppqmmqqppmmmmsUsWssRsYsUsQssP为系统的PMD。WRQP,,,W阵反映输入-输出直接关系，若G(s)为严真，则W(s)=0。内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.1多项式矩阵描述（PMD）例：)()()()()1()()()()(221221211sRsYsLssRCssUsLsssR)(0)()(0)()(01)()(1212212211sUssRsYsUssCsRLCsRRLs内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.1多项式矩阵描述（PMD）二、假设现实世界中极大多数满足假设。为非奇异，存在。)(sP)(1sP三、PMD和其他描述的关系1、与传递函数矩阵的关系)()()()()(1sWsQsPsRsG2、与状态空间描述的关系假定，求拉氏变换00x)()()()()()(sEUsCXsYsBUsXAsIEsWCsRBsQAsIsP)()()()()(3、与右MFD的关系)()()(1sEsDsN)()()()()()()(sEsWsNsRIsQsDsPp内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.1多项式矩阵描述（PMD）3、与左MFD的关系)()()(1sEsNsDLL)()()((s))()()(sEsWIsRNsQsDsPqLL四、不可简约PMD1、定义如果PMD满足左互质，右互质，则为不可简约PMD。)(),(sQsP)(),(sRsPWRQP,,,如果PMD为可简约，则非左互质或（且）非右互质。)(),(sQsP)(),(sRsP2、由可简约PMD导出不可简约PMD内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.1多项式矩阵描述（PMD）（1）假定右互质，非左互质)(),(sQsP)(),(sRsP)(),()(sQsPgcldsH)()()(sPsHsP)()()(sQsHsQ)()()()(sUsQssP由)()()()()()(sUsQsHssPsH左乘)(1sH)()()()()()()()()(sUsWssRsYsUsQssP)(),(sRsP右互质，其最大右公因子为单模阵，为中“约去”导出的结果，故仍为右互质。)(sP)(sP)(sH)(),(sRsP内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.1多项式矩阵描述（PMD）（2）假定非右互质，左互质)(),(sQsP)(),(sRsP()(),()FsgcrdPsRs)()(~)(sFsPsP)()(~)(sFsRsR)()()()()(~)()()()()()(~sUsWssFsRsYsUsQssFsP令)(~)()(sssF)()()(~)(~)()()()(~)(~sUsWssRsYsUsQssP不可简约MFD内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.1多项式矩阵描述（PMD）（3）假定非右互质，非左互质)(),(sQsP)(),(sRsP()(),()FsgcrdPsRs)()()()(ˆ11sFsPsHsP)()()(ˆ1sFsRsR)()()()()(ˆ)()()(ˆ)()()()(ˆ)(sUsWssFsRsYsUsQsHssFsPsH令)()()(~ssFsˆ()()()()()()()()()PssQsUsYsRssWsUs不可简约MFD)(),()(sQsPgcldsH)()()(1sPsHsP)()()(ˆ1sQsHsQ)()()()()()()()()(sUsWssRsYsUsQssP由内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现一、PMD实现的定义)()()()()()()()()(sUsWssRsYsUsQssP如果EuCxyBuAxx成立11()()()()()()CsIABEsRsPsQsWs称状态空间描述为PMD的一个实现。具有强不惟一性，即实现结果不惟一，实现维数也不惟一。二、PMD实现的算法给定，求，观测器形实现。)(),(),(),(sWsRsQsP)(,,,pECBA1、给定PMD，判断内核，是否为行既约。)()(1sQsP)(sP（1）若行既约，令，。)(sP)()(sPsPr)()(sQsQr内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现（2）若非行既约，找出单模阵，使为行既约。)(sP)()()(sPsMsPr)()()(sQsMsQr)(sM)()()()()()()()(111sQsPsQsMsPsMsQsPrr)(detdeg)(detdegsPsPr和具有等同实现。)()(1sQsPrr)()(1sQsP2、找出的观测器形实现)()(1sQsPrr)()()()()(11sYsQsPsQsPrrrr)()(1sQsPrr为严真部分，为多项式矩阵。)(sY3、对严真左MFD，寻找观测器形实现)()(1sQsPrr),,(oooCBA能观测,)()()(11oorroooCAsQsPBAsIC)(detdegdimsPAro内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现4、对整个MFD)()]()()([)()()()()]()()([)()()()()()()()]()()()[()(111sUsWsYsRsUBAsICsRsUsWsYsRsUsQsPsRsUsWsUsYsQsPsRsYooorrrr1)()(ooAsICsR不一定严真，11)()()()(ooooAsICsXAsICsR)()]()()()([)()()(1sUsWsYsRBsXsUBAsICsYoooo)()()()()(,,,pWpYpRBpXpECBAoooo为实现内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现例：)(2)(21)()(12)(102122sUsssYsUssssss解：（1）为行既约，令，。)(sP)()(sPsPr)()(sQsQr（2）找出的观测器形实现)()(1sQsPrr1001)(ss11)(ss1210212)()(22121非严真ssssssQsPrr内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现1001)(ss)()(21sQsPrr)()()(10)(010)(01)(ss)()(2sYsPsQsPssPsPsQrrrrrr0)(ssQr10)(sY（3）对严真，寻找观测器形实现010212)()(121sssssQsPrr内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现（3）对严真，寻找观测器形实现010212)()(121sssssQsPrr21rk12rk3n1001hrD102102LrD001LrN10011hrDLrLrDDDhr121qp100201012oA0010B100001oC内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现（4）对整个MFD0011)(s2s1s11s1-1)(s2s1s11ss1002101210000121)()(2211ssssAsICsRoo100201012oA0010B100001oC内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现0011)(s2s1s11s1-)()(21ooAsICsR)(001211)(001)(1)(s2s1s11s1-)(2ooooAsIAsIAsICsR001)(211)()(11oooAsIAsICsR211oC001)(sX100201012oA0010B211oC5)()()()()(sWsYsRBsXpEo111()()5()()()()1CsIABEsRsPsQsWss验算：内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.2PMD的状态空间实现三、PMD的最小实现给定MFD当且仅当PMD为不可简约，其对应的维数为n的实现为最小实现。)(),(),(),(sWsRsQsP)(detdegsPn内蒙古工业大学电力学院自动化系第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述☝11.3PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性给定MFD，状态空间描述)(),(),(),(sWsRsQsPECBA,,,结论：(),(),PsQsAB左互质能控(),(),PsRsAC右互质能观测证明：整体思路smsQsPrank)()(PBH判据snBAsIrank（1）行既约性判断)(sP)()()()()(11sYsQsPsQsPrrrr)()(sPsPr是行既约，令)(sP非行既约，)(sP)()()(sPsMsPr行既