第11章边界层理论

第11章边界层理论（BoundaryLayer~）1.边界层基本概念2.边界层基本微分方程3.边界层动量方程4.边界层排挤厚度和动量损失厚度5.平板层流边界层本章内容：课堂提问：高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的远？为什么龙舟的形状是细长体？8.船体摩擦阻力计算9.曲面边界层分离现象形状阻力10.绕流物体的阻力11.减少粘性阻力的方法7.平板混合边界层6.平板湍流边界层§11-1边界层的概念N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响的这一薄层。边界层：均匀来流速度平板上u=0边界层内粘性力不可忽略这一薄层内速度梯度很大yvx与来流速度相同的量级,U99％U99％边界层外边界外边界上流速达到U99％的点到物面的法向距离。边界层名义厚度边界层厚度根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：一、边界层二、边界层外部区域边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计，可认为边界层外部的流动是理想流体无旋势流。这一薄层内速度梯度很大。xvy边界层内的流动是有旋流动1()2yxxzvvvxyy重要推论：（1）边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力：即：P1=P2=PP2PP1x（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计算边界层。（3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N-S方程化简，获得边界层的基本微分方程。边界层内的流动状态：层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层（层流底层），其厚度与Re有关。5Re()510kpkpkpUxUx层流边界层转变为湍流边界层的判别准则：ｘ为离平板前缘点的距离对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标5510kpxU（11－1）ReUx雷诺数§11-2边界层基本微分方程粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过小曲率物体，物体表面可近似当作平面。取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界层流动有下面两个主要性质：1)边界层厚度较物体特征长度小得多，即2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级1L以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简：222222221()1()xxxxxyyyyyxyvvvvpvvxyxxyvvvvpvvxyyxy连续性方程0yxvvxy2,,,,yxxyvvxypxyvvpLLUUU将其代入N-S方程，整理后得：引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中的各物理量无量纲化：011()yxvvcxy2222222()1111(1R())e1xxxxxyvvvvpvvaxyxxy22222111(1R)e()()yyyyxyvvvvpvvbxyyxy因为～，所以Re～δ′2L1Re,~1,xxxvvvyxx所以~1,~yyvvy所以2222222111~1~,~~~,~yxxxyyvvvvxyyyvvxx，因为0≤x≤L，所以x’=～1xL因为0≤vx≤U，所以v’x=～1XVU因为y’=,0≤y≤δ，所以y’～=δ’yLL化简后为22100xxxxyyxvvvpvvxyxxpyvvxy（11－4）边界条件：ｙ＝０，Vｘ＝Vｙ＝０；ｙ＝δ，Vｘ＝Ｕ（ｘ）。上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。讨论：说明了什么？Prandtl边界层方程中第二个方程：0pyp1p2p3p0p1=p2=p3=p0Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流边界层流动。均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面，原点在平板前缘，Prandtl边界层方程的求解平板极薄且无曲度，边界层外缘处速度为来流速度Ｕ。沿边界层外缘上各点上压力相同，0dpdx即上述边界层方程简化为：220xxxxyyxvvvvvxyxvvxy（11－5）边界条件：ｙ＝０，Vｘ＝０，Vy＝０；ｙ→∞，Vｘ＝Ｕ。严格上，速度从零增至Ｕ须经过无限远距离，近似认为ｙ＝δ，Vｘ＝U。引入流函数ψ，与速度的关系为：xxuuyx（11－6）将其代入简化后的边界层方程第一式有：22323yxyxyy（11－7）边界条件：0000yxyxyUy若求出了流函数ψ，便可求出速度，ψ应是ｘ，ｙ的函数，且ψ中包含ν和Ｕ（起参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的值不同。现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现ν和Ｕ。选特征量：Ｌ：ｘ的比例尺，Ψ:ψ的比例尺，Ψ为常数：y的比例尺，LUyx,,若用表示ψ，ｘ及ｙ的无量纲值，则有LUxyxyL(11－8)LUxLxyy于是（11－9）将（11-9）代入（11-7）式，得222323/23()()()LLUULyxyxyy(11-10)或22323()yxyxyyUL（11－11）边界条件化为：0,0,0,LULULyUyLxLyUUy（11－12）若令,则方程和边界条件都将变成无量纲的形式,并且其中不再显含ν和Ｕ。UL这就是无量纲运动方程及边界条件,可见不再显含ν及Ｕ，其解也应该不包含ν及Ｕ。（11-14）即(,)xy（11－13）223230,0,0,1yxyxyyyxyyy(,)LUxyULL(11-15)平板为半无限长即没有任何特征长度，故其解不应包含Ｌ(只是任选的长度比例尺)，而只应该包含ν和Ｕ。注意：（11-14）式应采取如下形式：(,)()yxyxx(11-16)求出，则ψ为：返回为有量纲解时，不出现Ｌ，即LUyxUULUxyLxxL（11－17）通过以上分析，来求解下列形式的ψ。()12UxUyx(11-18)将ψ代入（11-17）式求解22323211()221()41()81[()()]21()4ddUUxUxUyddyxUUyxUyxUxxUxyx(11-19)将上式代入方程（11-7），有0(11-20)φ满足的是三阶非线性常微分方程边界条件为：η＝０，φ＝０，φ′＝０η→∞，φ′＝２非线性的微分方程，得不到解析解。采用级数展开办法，或者直接进行数值积分。由于φ和η均为无量纲量，且在方程及边界条件中只有纯数而不显含ν及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸地应用。表11-1给出问题的数值解，其中就是边界层内无量纲的速度分布1()2xvU例11.1本例说明上表11-1的用法。(1)欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）可将ｘ及ｙ的值代入中得出η值，由此值从上表中找出相应的12Uyx1()21(,)()2xvxyU则设U=25km/h，ν=0.15cm2/s,x=3m,ｙ=5mm，求：Vx＝？1()0.6192xvU3416.955100.9820.15103解：U=25×1000/3600=6.95m/s,ν=0.0015m2/s,x=3m,y=0.005m,代入η中得：从表11-1中，用内插法，查得所以Vx＝0.619Ｕ＝403ｍ/ｓ（2）按上例条件，求ｘ＝３ｍ处的边界层厚度δ解:按定义边界层外边界上速度Vx=99％Ｕ40.151032.5250.1281.286.95xmcmU查表11－1，找出时，η＝2.5,99%xvU由可得12Uyx200021(0)4xyyvUUyyx解：由牛顿内摩擦定律（3)求板面上的切应力0按照表11－1，φ″（0）可近似表达为：20(0.1)(0)(0)1.3280.100.332Ux于是上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与ｘ坐标的平方根成反比的规律随着ｘ的增加而减小。现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦阻力是：330000.3320.664LLfURbdxbdxLUx总摩擦阻力系数Ｃｆ由下式确定：2121.328ReffRCUbL（11－21)ReUL式中为按平板板长计算的雷诺数。算出摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况下的摩擦阻力为：(11-22)212ffRCUbL虽然边界层基本微分方程比N-S方程要简单得多，但求解问题仍有很大困难尚且如此之大，因此,发展求解边界层问题的近似方法便具有很大的理论与实际意义。Karman动量积分方程方程，就是一种近似求解边界层问题的方法。§11-3边界层动量积分方程应用动量定理来研究边界层内单位时间内沿ｘ方向的动量变化和外力之间的关系。设流动定常控制体边界ABCD单位时间内经过ＡＢ面流入的质量和带入的动量分别为：200ABxABxmudyKudy02200()[]xCDxCDxxvmvdxdyxKvdydxvdyx0CDABxmmdxvdyx0ACxKUdxvdyx单位时间内流出ＣＤ面的质量和动量分别为：对不可压缩流体必然有质量：从边界层外边界ＡＣ面流入，并带入动量：200[]CDABACxxKKKdxvdyUvdyxx单位时间内控制体内沿ｘ方向动量变化：作用在该控制体上沿ｘ方向外力：()()1()2ABCDACPppPpdxdxpPpdxdxAB面:CD面:AC面:A,C两点的平均压力001()()()2ppppdxdpdxddxxxpdxdxxＢＤ面上作用在流体上的总切应力为：FBD＝－τ0dx该控制体上沿ｘ方向诸外力之和为：式中略去了二阶小量2000xxpvdyUvdyxxx可得到定常流动条件下卡门动量积分方程式：在边界层内：ｐ=ｐ(x)，ｖｘ=ｖｘ(y)δ=δ(x)方程两个积分都只是ｘ的函数，则有2000xxdddpvdyUvdydxdxdx（11－23）这就是边界层动量积分方程，对层流和湍流边界层都能适用。式中未知数有ｖｘ，τ0和δ三个。求解方程要补充两个关系式：（2）切应力与边界层厚度δ的关系即τ＝τ（δ）一般由经验确定，与实际符合越好，计算结果就越精确,这是求解边界层问题的关键。(1)边界层内的速度分布uｘ＝uｘ(y）dpdUUdxdx拉格朗日积分改写为：两个厚度:动量损