第12章题解

12.1一矩形线圈放在均匀磁场中，磁场的方向垂直于纸面向内（见附图），已知通过线圈的磁通量与时间的关系为2334510Wb(tt)。求：（1）线圈中感应电动势与时间的关系。（2）6ts时，感应电动势的大小以及此时电阻上的电流方向。解：（1）感生电动势大小为3(64)10dtVdt（2）6ts时2410V因为，垂直纸面向内的磁通量随着时间的推移逐渐增大，所以感应电流所产生的磁通量垂直纸面向外，由右手定则可知电阻的电流方向向右。12.2一根很长的直导线中通有交变电流0iIsint，式中0I及都是常数。有一矩形线圈ABCD与长直导线在同一平面内，其中长为l的两对边与直导线平行（见附图）。求线圈中的感应电动势。解：距导线r处的磁感应强度为：02IBr，矩形线圈内的磁通量为磁感应强度对矩形面积的积分：00ln22baIIlbBdSldrra，线圈中的感应电动势为：00lnlncos22lwldbdIbwtdtadta12.3半径分别为R和r的两个圆形线圈共轴放置，相距为x（见附图）.已知rx（因而大线圈在小线圈内产生的磁场可认为是均匀的）。设x以匀速率dxvdt随时间变化。（1）将小线圈的磁通表示为x的函数。（2）将小线圈的感应电动势的绝对值表示为x的函数。（3）若0v，确定小线圈中感应电流的方向。解：（1）当两线圈相聚x时，小线圈内的磁感应强度为：20223/22()IRBRx磁通量：2220223/22()IRrBSBrRx（2）当x变化时，小线圈内磁通量也发生变化。小线圈中感生电动势为：2222223/200225/213()22()dIRrIRrvxddxRxdtdxdtRx（3）当0v时。两线圈的距离增大，小线圈面积上的磁通量减小。根据楞次定律，小线圈上应产生与大线圈相同方向的感应电流，即电流方向为逆时针方向。12.4导体棒AB与金属轨道CA和DB接触，整个导体框放在050B.T的均匀磁场中，磁场的方向与图面垂直（见附图）。求：（1）若导体棒以4.0m/s的速度向右运动，导体棒内的感应电动势的大小和方向。（2）若导体棒运动到某一位置时，电路的电阻为0.20Ω，在此时导体棒受到的安培力。（3）比较外力做功的功率和电路中消耗的热功率。解：（1）由法拉第电磁感应定律，可知当导体棒向右做切割磁感线运动时，在导体棒内产生的感应电动势大小为（取回路绕行正方向为顺时针方向）：0.500.54.01BlvVV0表明感应电动势的方向与回路绕行方向相反，即逆时针方向。（2）电阻0.02R，此时电流为:150.2IAAR导体棒所受安培力为：0.0550.50.125FBIlNN（3）外力做功功率2250.25PIRWW热功率1.2545PFvWW可见外力做功的功率和电路中消耗的热功率相等。12.5金属棒AB以匀速m20sv.平行于一长直导线运动，导线中载有电流40I.A，如附图所示。求金属棒AB中的感应电动势的大小和方向。解：（图呢？）距导线r处的磁感应强度为：02IBr当金属棒平行于导线运动时切割磁感线，故产生的动生电动势为：7604104.02.01.61022IlBlvlVVrrrBlv12.6为了探测海水的流速，海洋学家有时利用水流通过地磁场所产生的动生电动势来进行测量。假设在某处海水中地磁场的竖直分量为407010B.T，将两个电极垂直插入海水中，相距200m，测出两电极之间的电势差为7.0mV，求海水的流速。解:水垂直于地磁场方向流动，水中的正负离子将分别受到垂直于水流方向的两个方向的地磁场的作用，从而分别在垂直插入的两个电极上积聚正负离子，使两个电极间产生电势差。此时，两电极之间相当于存在一个垂直切割磁感线运动的导体棒，速度为水流速度347.010/0.5/0.7010200vmsmsBl12.7法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。设圆盘的半径为R，它的转轴与均匀外磁场平行，圆盘以角速度绕转轴转动（见附图）。求：（1）盘边与盘心的电势差。（2）当R＝15cm，B＝0.60T，转速为每秒30转时，电势差为多少？（3）盘边与盘心哪点的电势高？当盘反转时，电势的高低是否会反过来？解：（1）导体圆盘可以看做为一根根长度为R的导体棒组成，盘心O为它们的共同端，对每根导体棒，由动生电动势公式babavBdl可知，当圆盘以旋转时，盘心和盘边的电动势为0212RBrwdrwBR即盘心和盘边的电势差为212UwBR（2）2211600.60.150.40522UwBRVV（3）由vB的方向（盘心到盘边）可知，电动势方向由盘心到盘边，即盘边的电势高。当盘反转时，vB的方向为从盘边到盘心，故此时盘心电势高，即电势高低也反过来。12.8发电机由矩形线圈组成，线圈平面绕竖直轴旋转。此竖直轴与大小为2.0×10－2T的均匀水平磁场垂直。矩形线圈的长为20.0cm，宽为10.0cm，共有120匝。线圈的两端接到外电路中，为了在两端之间产生最大值为12.0V的感应电动势，线圈必须以多大的转速转动？解：矩形线圈在与之垂直的水平磁场中转动时，产生感应电动势为cosNBSwwt最大电动势为maxNBSw当最大电动势为12.0V时，有max212.02501202.0100.20.1wNBS弧度/秒转速25039.822wn转/秒12.9一长直导线载有I＝5.0A的电流，旁边有一矩形线圈ABCD与长直导线共面，矩形线圈长1l＝0.20m，宽2l＝0.10m，长边与导线平行，AD边与导线相距a＝0.10m，线圈共1000匝。令线圈以速度v＝3.0m/s垂直于导线向右运动（见附图）。求线圈中的感应电动势。解：在矩形线圈平面上，磁场方向垂直于平面向内。当线圈向右运动时，长度为2l的两条边的运动方向与其长度方向平行，因而这两条边上无动生电动势；就边长为1l的两条边而言，长度方向、运动方向、磁场方向两两垂直，因而它们都具有动生电动势。011021222()ADBCINBlvNlvaINBlvNlval它们的方向对线圈而言是相反的。AD的方向是顺时针的，BC的方向是逆时针的。因而线圈电动势0127311()21110002105.00.203.0()0.10.10.1310ADBCIlvNaalVV12.10均匀磁场B限定在无限长圆柱体内（见附图），磁感应强度的大小以210dB/dtT/s的恒定变化率减少。求位于图中PQM、、三点的电子从感生电场获得的瞬时加速度的大小和方向，图中r=5.0cm。解：在圆柱体区域内，当磁场变化时，距轴线r处的感生电场的场强大小为2rdBEdt在该处电子收到的作用力的大小为2erdBFeEdt它获得的加速度大小为2eeFerdBammdta的方向与E的方向相反，而E的方向根据dBdt的方向由左手螺旋法则确定。电子在P点时，r=0.05m，它的加速度1922231721.6105.01010/29.1104.410/amsmsB在减少，dBdt的方向垂直纸面向外，在P点感生电场方向向左，因而电子加速度方向向右。电子在O点时，因为r=0，E=0，所以加速度为零。电子在Q点时，仍有r=0.05m，其加速度大小仍是724.410/ms，但方向向左。12.11均匀磁场B限定在在半径为R的无限长圆柱体内（见附图）。有一长为L的金属棒放在磁场中。设磁场以恒定变化率dB/dt增强，求棒中的感应电动势，并指出哪一端电势高。解：设想有两段AO和'OA于金属棒构成一回路（',AA为金属棒的两个端点）。当磁感应强度为B时，回路面积上的磁通量2222BllBSR磁场变化时，回路内感生电动势的大小为2222dlldBRdtdt由于磁场的对称性，变化磁场所激发的感生的电场线在圆柱形体积内是与圆柱同轴的同心圆。因此，在回路的AO和'OA段的任一导线元上都有0Edl。在这两段导线上无感生电动势，可见就是金属棒的感生电动势。实际上AO和'OA这两段电路是不存在的，棒两端的电势差即为2222lldBURdt12.12矩形截面螺绕环的尺寸如附图所示，总匝数为N，求它的自感系数。解：用安培环路定理可以证明，磁螺绕环内外磁场的分布为012122,0NIRrRBrrRrR在截面上取距轴线r处取一宽为dr，长为h的条形面积，面积上的磁通量为02NIdBdShdrr整个截面上的磁通量210021ln22RRNINIhRdhdrrR由此可得螺绕环的自感系数2021ln2NhRNLIR12.13长50cm，截面积为8.0cm2的空心螺线管共绕400匝，求它的自感系数。如果电流在1.0×10－3s内由1.0A减小到0.1A，线圈中的自感电动势的大小为多少？解：螺线管的磁链为200NININBSNSSll螺线管的自感系数2724404104008.0103.2100.5NLSHHIl当电流在1.0×10－3s内由1.0A减小到0.1A时，自感电动势为431.00.13.2100.2881.010LdILVVdt12.14传输线由两个共轴长圆筒组成，半径分别为12RR、，如附图所示。电流由内筒的一端流入，由外筒的另一端流回，求传输线一段长度为L的自感系数。解：由安培环路定理可以证明，传输线在空间的磁场分布为01210122220IrrRRIBRrRrrR由此可计算自感系数为1211002000121221ln24RRRIrILdrLdrBLdrBdSrLRRLIIIR12.15一长螺线管长l＝1.0m，截面积S＝10cm2，匝数1N＝1000，在其中段密绕一个匝数2N＝20的短线圈。求：（1）这两个线圈的互感系数。（2）如果线圈1内电流的变化率为10A/s，求线圈2中的感应电动势。解：（1）设长线圈中有电流I，它在中心处的磁感应强度为012NIBR短线圈上的磁场可认为是均匀的，则短线圈面积上的磁通量012NISBSR两个线圈的互感即为7440122441010002010102.2410210102NNSNMHHIR（2）当长线圈有电流时，它在短线圈中中产生全磁通21221NMI当电流的变化率为10A/s时，，短线圈中的感应电动势为4321212222.2410102.2410dMdIdINNMVVdtNdtdt12.16一螺绕环截面的半径为a，中心轴线的半径为R（Ra）。其上用表面绝缘的导线密绕两个线圈，其中一个绕1N匝，另一个绕2N匝，。求两个线圈的互感系数。解：设线圈1中有电流I，电流I在螺绕环中产生的磁场为01()2NIBRrRar因为Ra，所以在螺绕环内的每一点可认为磁场是均匀的，012NIBR故电流I在线圈2中产生的磁通量为220110111222NINIaBSaRR则穿过线圈2的磁通链数20121122122NNIaNR由互感系数定义有20121212NNaMIR12.17一个单层密绕的螺线管，长为0.2m，横截面积为4×10－4m2，共绕1000匝，载有电流0.5A。求螺线管内的磁能。解：设螺线管上通有电流I，管内磁场为0NIl，故螺线管的自感系数为20