第16届物理奥赛复赛题解答

陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233第十六届全国物理竞赛复赛试题解答一、1．只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸汽的压强之和。0p总=0p空+饱p=3.0大气压（1）第一次膨胀后01V2V11pP空总饱p=2.0大气压（2）由于第一膨胀是等温过程，所以0p空0V=1p空1V=21p空0V（3）解（1）、（2）、（3）得饱p=1.0大气压（4）0p空=2.0大气压（5）1p空=1.0大气压（6）由于饱p=1.0大气压，可知汽缸中气体的温度K373T0（7）根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。2．设水蒸汽为水摩尔。经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为饱p，这时对于水蒸气和空气分别有饱p1V=水R0T（8）1p空1V=空R0T=2R0T（9）同此二式及（5）、（6）式可得水=2摩尔（10）3．在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有22Vp总=11Vp总（11）由题意知，,V2V,V4V0102再将（2）式代入，得0.1p2总大气压（12）评分标准本题20分。第1问、正确求得（7）式占9分；第2问、正确求得（10）式占7分；第3问、正确求得（12）式占有4分。陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233二、1．在图复解16–2-1所示的光路图中，入射光AB经透镜1L折射后沿BC射向2L，经2L折射后沿CD出射。AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、P和P，如果P为物点，因由P沿主轴射1O的光线方向不变，由透镜性质可知，P为P经过1L所成的像，P为P经2L所成的像，因而图中所示的1u、1v、2u、2v之间有下列关系：u1v1u2v2dL1L2BPAhDO1O2P′h′αα′βCP″图复解16-2-1d＞f1+f212222111vudf1v1u1f1v1u1321当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得,uvhh1212vuhh从而求得1212vuuv（4）联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去1v、2u、2v，可得)ff(ddfu2111（5）具体运算过程如下；由（1）式可得1fvuv1111（a）由（2）式可得1fuvu2222（b）由（4）式可得1122uvvu（d）由（a）、（b）、（d）式可得11222211vffu,fufv即以上式代入（3）式可得2111,112ffdfvvff1d即（c）以（c）式代入（1）式得)ff(ddffffdfdffvvfu211212112111111（5）由于d、1f、2f均已给定，所以1u为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在1L的左方与1L相距)ff(ddfu2111处。又由于1u与α无关，凡是通过该点射向1L的入射光线都和对应的出射光线相互平行。2．由所得结果（5）式可以看出，当d＞21ff时，1u＞0，此情况下的光路图就是图复解16–2–1所示。当d=21ff时，1u→∞，α=0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16–2–2所示。当d＜21ff时，1u＜0，这表明P点在1L右方，对1L来说，它是虚物。由（1）式可知，此时1v＞0，由1122vffu可知2u＞0，又由1122uvvu＜0可知2u＜0，所以此时的光路图如图复解16–2–3。L1L2hh′f1f2O1O2dP′d=f1+f2L1L2hh′O1O2P′P″dPααd＜f1+f2图复解16-2-2图复解16-2-3评分标准本题25分。第1问17分，其中（1）、（2）、（3）式各2分，（4）式分，（5）式3分，结论4分；第2问8分，其中图复解16–2-1，16–2-3各给3分，图复解16–2-2给2分。三、根据题中所给的条件，当圆环内通过电流I时，圆环中心的磁感强度B=r2I0穿过圆环的磁量可近似为φ≈BC=Ir2I0（1）根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小tr2t0（2）圆环的电阻R=t2r0（3）根据题设条件r=0.05m,270AN104,I=100A,t≤610安培/年≈3×1410安培/秒，代入（3）式得陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233R≤3×2310（4）由电阻与电阻率、导线截面积S、长度l的关系R=Sl及已知导线的直径d=1mm,环半径r=5mm，得电阻率ρ=m105.7r8dRlSR292。评分标准本题25分。求得（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各得5分；其中（5）式只要数量级对即可。四、1、双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度率为v，向心加速度满足下面的方程：222LGM2/LvM（1）L2GMv（2）周期GML2Lv2/L2T计算（3）2．根据观测结果，星体的运动周期计算观测TN1T＜计算T（4）这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其它指向中心的作用力。按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M位于中点处的质点相同。考虑暗物质作用于后双星的速度即为观察到的速度观v，则有L2M4MGv2/LMMGLGM2/LvM2222观观65因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得v1N1v1观（7）把（2）、（6）式代入（7）式得M41NM（8）设所求暗物质的密度为ρ，则有33L2M1N3M41N2/L34故（9）评分标准本题20分。第1问5分；第2问15分。求得（6）式给8分，求得（9）式给7分。陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233五．本题可能有多种解法，在此提供两种解法。解法一1．（1）电阻图变形。此题连好的线路的平面图如图复解16–5-1所示。现将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图复解16–5-2与图复解16–5-3所示，整个连好的线路相当于把nD的三个顶点分别接到1nD的三个中点上，图复解16–5-1变为图复解16–5–4。这样第1问归结为求图复解16–5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。123456123456图复解16-5-2图复解16-5-3（2）递推公式。为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为r的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为R的三角环的中点上（如图复解16–5-5所示）。图复解16–5-6是由六个阻值为R的电阻构成的三角环。若图复解16–5-5顶点1、3间的电阻与图复解16–5-6顶点1、3间的电阻阻值相等，我们称图复解16–5-6中的R为等效单环电阻。用符号∥表示电阻的并联，如：AR∥BABR/1R/11R由图复解16–5-5中的对称性可知，1、3两顶点间的电阻3,1R等于图复解16-5-7中1、0时的电阻0,1R的2倍，即D5D4D3D2D1123456123456123456123456123456图复解16-5-1图复解16-5-41RRRrrr0图复解16-5-713RRRRRRrrrrrrR′R′R′R′R′R′13图复解16-5-5图复解16-5-6陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233R//r31RRRrR3r431R//R3r2R3rR42R//Rr21r1R112R//Rr2//r//R2R2R20,13,1（1）同理，图复解16–5-6中1、3两顶点间的电阻3,1R为R34R//R22R3,1（2）由（1）、（2）式得等效单环电阻R′为R//r41R43R（3）2．第一问现在考虑把54321D.D,D,D,D按相反的次序，由内向外依次连接的情况。首先将4D接在5D外面，求双环4D-5D的等效单环电阻2R（即〈3〉式中的R′）。这时r=R。由（3）式得到2R为R87R//R41R43R2其次，在双环4D-5D外面接上3D，这时r=2R。三环3D-4D-5D的等效单环电阻3R为R1513R87//R41R43R//R41R43R23由此可得一般公式，（s+1）环的等效单环电阻)1S(R可由)S(R求出：S1SR//R41R43R（4）于是，R11297R1513//R41R43R//R41R43R34R209181R11297//R41R43R//R41R43R45由（2）式R34R3,1得出由一个环5D、两个环（5D-4D）直至五个环（5D-4D-5D-2D-1D）构成的线路1、3点间的电阻为：陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233R627724R20918134RR8497R1129734RR4552R151334RR67R8734RR34R34R53,143,133,123,13,11答：所求的五个环的1与3间的等效电阻确为627724R。证毕。3．第二问根据五个D组成的圆柱形网络的对称性，5D的1、3两点等价于1D的2、4两点。等价线路如图复解16–5-8与图复解16–5-9所示。设二图等价，求图复解16–5-9中的R即可。R209194R9756R211R2//R2R4所以R627388R32R2//RR54,2答：所求值为R627388。解法二第一问图复解16–5-3可看作5D的接线图，其一半如图复解16–5-10所示，竖直粗线为一短路线。一个环（5D）构成线路的1与0点间的阻值用10,1R表示，根据对称性，R32R21R13,110,1。101010220′0′R1,0(1)图复解16-5-10图复解16-5-11图复解16-5-122R2R2R24R(4)R(4)R(4)R(4)R(4)R(4)R″R″R″24图复解16-5-8图复解16-5-9陈老师高中物理13277994433QQ：1220282233当5D接入4D后，由两个环（类似图复解16–5-5）构成线路图的一半如图复解16–5-11所示。三个带阴影的电阻与线路围成的三角形（2-0-0）中的2与0间的阻值就是图复解16–5-10中1与0间的阻值10,1R。其等效电路如图复解16–5-12所示。图复解16–5-11（或图复解16–5-12）中的1与0点间的阻值用20,1R表示。有R127R//RR32//RR//RR//RR10,120,1再将双环5D-4D接入3D，其一半如图复解16–5-13所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其2与0间的阻值就对应为20,1R，参看图复解16–5-12的等效电路，得R4526R//RR127//RR//RR//RR20,130,1同理，得R16897R//RR4526//RR//RR//RR30,140,1R627362R//RR16897//RR//RR//RR40,150,1由此得R627724R2R50,153,1