第14讲静电场的解法

-1-第10讲静态场的解法（1）-2-本节内容：1，静电场问题的分类与唯一性定理2，平面镜像3，球面镜像-3-一，静电场问题分类：一类是前面讨论的已知电荷分布求解场的分布型问题；另一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已知条件来求解场的边值型问题。因为电位是一个标量函数，而且由它可以方便地求出描述电场的其它物理量，故边值问题通常以电位做为研究对象。-4-边值问题按其边界条件不同可分为三类：（1）已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题：02|0或——荻利克莱（Dirichlet）问题（2）已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即：02n——Neumann问题（3）区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值，即：02012,n——混合问题三类边值问题的解是否唯一？回答是肯定的，有唯一性定理保证。-5-二，场的唯一性定理可以证明，在以上三种边界条件下，满足Laplace方程和Poisson方程的电位函数是唯一的。这就是场的唯一性定理。-6-下面利用格林第一公式来证明这一定理。SVdSndV2——格林第一公式证明：若1、2都满足拉氏方程（或Poisson方程），则21满足Laplace方程，即：02令格林公式中、都是，则：SVdSndV2-7-第一种情况（Dirichlet问题）：1、2在S上均满足第一类边界条件，则0S∴02VdV∵02，而积分为00∴常数C，而在S上0。∴0∴21-8-第二种情况（Neumann问题）：1、2都满足0Sn则：021SSSnnn故右边=0，同样可得：常数C21∵在参考点处021，故021∴21-9-第三种情况（Mixed问题）证明与第二种情况类似，略。唯一性定理的意义在于无论用何种方法找到一个函数，既满足微分方程，又满足问题特定的边界条件，则它必是该问题的解。-10-三镜像法根据边值问题解得唯一性定理，如果我们能找到一个函数（1）既满足问题的微分方程（2）又满足其边界条件则这个函数就是该问题的真解。镜像法就是应用唯一性定理求解静电场的一种特殊方法。主要用来求解分布在导体附近的电荷产生的场。例如在实际工程中，遇到水平架设的双线传输线的电位，电场计算问题，当导线与地面距离较小时，要考虑地面的影响，将地面看作时无穷大的导体平面，由于导体表面会查生感应电荷，空间的电场会发生变化，这时空间中的电场由原有电荷和感应电荷共同产生，这就时镜像法的基本原理，镜像法也是唯一性定理应用的典型范例。-11-镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据-12-应注意的问题：①镜像电荷位于待求场域边界之外。②将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。③实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。在这一部分将要讲解三种镜像方法，分别是，平面镜像法，柱面镜像法和球面镜像法。-13-1，导体平面的镜像法设在无限大导体平面的上半空间放置一点电荷q，导体接地，电位为0。在计算上半空间某点P的电位时，由于导体表面存在与点电荷符号相反的感应电荷，因此不能用无界空间点电荷的电位公式来计算。如果能用一个点电荷来等效感应电荷的作用，则P点电位的求解就变得很容易了。-14-oxyPqr1rhxyPq-qor2r1r2r2r-15-如果在原电荷关于导体平面的镜像位置上放置一等量的相反电荷-q，同时移去导体，则在上半空间满足与原问题相同的微分方程，同时满足相同的边界条件，则根据唯一性定理，这两个点电荷在上半空间产生的电位就是原问题的解。由于两个点电荷的位置镜像对称，所以此方法称为镜像法。点电荷q和-q分别称为原电荷和像电荷。-16-两个点电荷在P点共同产生的电位为：201044)(rqrqr其中2221)(zhyxr，2222)(zhyxr注意,上述φ的解仅表示z＞0的半空间内的电位分布,而在z＜0的半空间是接地导体,没有场,并且电位为零,所以φ的解仅适用于z＞0的半空间。-17-不难验证，上式在上半空间除点电荷q所在位置外，处处满足拉普拉斯方程，而在y=0平面上等于0，与原问题相同，所以上式就是原问题的解。电位：1/21/22222220114π()()qxyzdxyzd-18-上半空间的电场强度：3/23/222222204π()()xqxxExyzdxyzd3/23/222222204π()()yqyyExyzdxyzd3/23/222222204π()()zqzdzdExyzdxyzd-19--20-根据静电场的边界条件,可由电位分布求得导体表面(z=0)的感应面电荷密度-21-•导体表面感应电荷•导体表面上感应电荷总量•导体表面上感应电荷对点电荷的作用力02223/22π()SnzqdDExyd2223/2dddd2π()SSqxyqdxyqxyd22016πzqFad-22-令222yx，则所以)/()(222/32220000mChyxqhznzzs2/322)(2hqhs)()(20222/322020CqhqhhhqhddsqSsi-23-无限大接地导体平板附近点电荷的电场分布-24-镜像法还可以推广到更一般的情况：+q1-q2+q3多个点电荷的镜像+q1-q1-q2+q2+q3-q30-25-+--+垂直和水平电偶极子的镜像+--++--+0-26-分布电荷的镜像lll0-27-点电荷对直角导体拐角的镜像+q0+q-q-q+q-28-[例]在电位为0的无限大导体平面上方距离平面h处沿z方向放置均匀分布的线电荷，密度为l，求导体上方的电位。xyP(x,y)lor1r2r1r2rl-29-解：将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为则zdzhyxzhyxrl2222220)(1)(14)(zdzhyxzhyxl02222220)(1)(122222002222220)()(ln2)()(ln2hyxhyxzhyxzhyxlll-30-待求场域中的电位上半空间的电场201ln2πlrr1201022π2πllrrEaarr-31-例题设有两块接地半无限大导体平板相交成α角,角α满足n=180°/α,n为正整数,即n=1,2,3,…,交角内置一点电荷(或一线电荷)。现采用镜像法求角内的电场分布。为了不改变原有边界条件(即导体板处电位为零)和交角α内的源分布,试求镜像的位置,以及镜像的个数。-32-［解］如果两导体的交角α=60°,45°,…,则也与上述情况相同,轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像,直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。但是,只有n为整数时,最后镜像才能和原电荷重合,镜像电荷的总数是直角形导体平面的镜像)(12个nN-33-平面导体45°交角内一点电荷的镜像-34-两平行导体板正中一点电荷的镜像分布-35-2，介质交界平面的镜像法在0y平面的上半空间充满介电常数为1的介质，下半空间充满介电常数为2的介质，在上半空间放一点电荷q，要求空间任一点电位。-36-先看上半空间的电位：假设全空间只有一种介质1，而介质分界面上的感应电荷对上半空间电位的贡献用在原电荷q的镜像位置放一像电荷q来等效，此时：)(41)(2111rqrqrxyPqqor1r2r1r2r11-37-再看下半空间的电位。此时设全空间只有一种介质2，分界面上的感应电荷对下半空间电位的贡献用原电荷位置上放一镜像电荷来等效，则原电荷位置上的总电荷为q，此时xyPqor1r1r2212241)(rqr-38-其中2221)(zhyxr，2222)(zhyxr要使这两个电位就是原问题的解，在边界y=0上应满足边界条件21yy2211-39-在y=0上21rr，21所以：21)(1qqq而232222322211)()()()(41zhyxqhyzhyxqhyy2322222)()(41zhyxqhyy-40-所以当y=0时，有qhqhhq或qqq可解得Kqqq2121qKqqq)1(其中2121K-41-最后的上半空间和下半空间的电位分别为：))()(1(4)(22222211zhyxKzhyxqr22222)(41)(zhyxqKr-42-介质平面镜像场分布图qqqqq-43-3，球面镜像法如图所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。如果导体球不接地,球外任一点电位分布有什么变化?adqadqq-44-(a)球面镜像原问题；(b)等效问题解：(一)我们先试探用一个镜像电荷'q等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷'q应置于球心与电荷q的连线上，设'q离球心距离为)(abb，这样球外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷'q产生电位的叠加，即-45-当计算球面上一点的电位时，有20104'4rqrq04'4200100rqrq-46-式中10r、20r分别是从q、'q到球面上点的距离。在上式中'q和b是待求量。取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到确定'q和b的两个方程：解得0'0'baqadqbaqaqqdabqdaq2'-47-可以算出球面上总的感应电荷qdaqin，其位置为da2。-48-aaaa-49-（二）如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。点电荷对不接地导体球的镜像-50-此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。应使用两个等效电荷：一个是'q；另一个是''q,'''qq,''q位于球心。如果导体球不接地，且带电荷Q，即'q位置和大小同上，''q的位置也在原点，但'''qQq，即qdaQq''-51-a—aa—a-52-（三）如果导体球不接地，且带电荷Q，在'q在位置和大小与前述相同，其''q也在原点，但是其'''qQq-53-例：有一接地导体球壳，内外半径分别为1a和2a，在球壳内外各有一点电荷1q和2q，与球心距离分别为1d和2d，如图所示。求：球