第1~4章部分习题解

第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxexxx①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大?解：（1）由归一化条件，知02221eAdxxx得到归一化常数2A所以归一化波函数为)0(0)0,0(2)(xxxexx（2）粒子坐标的概率分布函数32224(0,0)0(0)()()xxexxwxx（3）令()0dwxdx得到10,xx，根据题意x=0处，()0wx，所以1x处粒子的概率最大。1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n。①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少?②n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）距势阱的左壁1/4宽度，即x的取值范围是-a~-a/2，发现粒子概率为：2sin2141|sin|2]cos1[2sin12/2/2/2/2nn)ax(anna2a1axdx)ax(an2a1dx)ax(ana)xP(aaaaaaaa（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大6141max)x(P。（3）当n→∞时，41)xP(。这时概率分布均匀，接近于宏观情况。1-3一个势能为221()2Vxmx的线性谐振子处在下面状态，2212()()xmxAe求①归一化常数A；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212Umx解：（1）利用泊松积分dxex2由归一化条件：4/1222111111222AAdteAdtdxtxdxeAtx，即，则令（2）振子的概率密度222|)(|)(xexxw令0)(dxxdw，即;0,02*)(222xxex振子出现的概率最大位置是x=0。（3）势能平均值414*4)|(44212121212122222222222*2222222222222mmdxexemxdemdexxmdxexmdxxmxmUxxxxx1-4设质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。220()102xVxmxx解:注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）)0x(05,3,1n),0x;xm()(HeA)x(nn2211E1,3.,52nnn1-5电子在原子大小的范围(～10-10m)内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。解：电子总能量22E2sepmr作近似代换，设~,~,~rrpprp由不确定关系得，，于是22222224222211E()221()22ssssemepmrmrrmememr所以电子的最小能量4min2E2sme，此式与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。1-6氢原子处在基态0301(,,)rarea，求：①r的平均值；②势能2ser的平均值；③最可几半径。解：（1）r的平均值04030020023300200222322831sin1sin||0aaadrdddreraddrdrrrar（2）势能的平均值0220302023020200221302244224sin||00'aeaaedrreaedrdddrreraedUUssarsars（3）最可几半径粒子在球壳r-r+dr范围中出现的概率如下：02302200224sin||)(arearddrrw由0)(drrdw得到r=a处电子出现的概率最大。1-7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E01及E02，受到微扰ˆH作用，微扰矩阵元12211122,HHaHHb。a，b都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。解：根据非简并微扰公式，有221(0)111101(0)(0)120102221(0)222202(0)(0)210201HaEEHEbEEEEHaEEHEbEEEE1-8氢分子的振动频率是1.32×1014Hz，求在5000K时，下列两种情况下振动态上粒子占据数之比。①n=0，n=1；②n=1，n=2。氢分子的振动看作为谐振子，因此振子能量为1()2nEn振动态上被粒子占据的概率服从M-B分布，则（1）n=0，n=1时，（2）n=1，n=2时，00100100()/011.054*1.32*21.38*51.2669087=3.54EkTEEkTEkTkTfefeeeee10210200()/12=3.54EkTEEkTEkTkTfefeee1-9求在室温下(k0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev和费米能级以下0.1ev的概率各是多少?（已知F-D分布概率函数为110TkEEFief）费米能级以上0.1eV的概率：00.1411=1.8%11iEEkTfeef费米能级以下0.1eV的概率：0-0.1411=98.2%11iEEkTfeef第二章2-1.试说明格波和弹性波有何不同?提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。2-2.证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即：Ev式中，E为弹性模量，ρ为介质密度。证明：在长波范围内，即q→0时；利用2-35，一维单原子的||aqm所以/aEvaqmma其中βa为弹性模量E；m/a为介质密度ρ；利用2-46，对于一维双原子链的声学波，2aqMm所以2'()/2aEvaqMmMma；其中βa为弹性模量E；(M+m)/2a为介质密度ρ；2-3.设有一维原子链(如下图所示)，第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′(β′＜β)。设两种原子的质量相等，最近邻间距为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=π/2a时的振动频率。aaaβ'ββ'2n-12n2n+12n+2mmmm解：根据题意，原子运动方程为)1()xx()xx(dtxdm)xx()xx(dtxdmn21n2n21n22n221n2n21n22n221n22设上两式的行波解为[()][(]2121222iqnatniqnatnxAexBe）（）将式（2）代入式（1），并整理得)3(0B)mA)ee(0B)eeA--m2iqaiqaiqaiqa2（（）（方程（3）中的A、B有非零解，则方程组的系数行列式为零，得到()''cos222222--0--22iqaiqaiqaiqameeeemmqa])qa2cos2[m12/1222（）（所以,22200qm时，（）,2222qamm2时，2-4.一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界2qa处，声频支中所有轻原子m静止，光频支所有重原子M静止。解：当2qa时，;22mM，对于声频支：将2qa，2M代入2-43得：mM（-1）A=0A=0，即轻原子m静止；对于光频支：将2qa，2m代入2-43得：()MBm-1B=0=0，即重原子M静止；2-5.什么叫声子?它和光子有何异、同之处?不同点：光子是电磁波能量的量子化；声子是格波能量的量子化；相同点：都是玻色子，起传递能量的作用；2-6.一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg，另一种原子的质量M=4m，力常数β=15N·m-1，求：(a)光学波的最大频率和最小频率0max、0min(b)声学波的最大频率Amax(c)相应的声子能量是多少eV?(d)在300K可以激发频率为0max、0min、Amax的声子的概率?(e)如果用电磁波来激发长光学波0max振动，试问电磁波的波长要多少?解：m8.0MmmM（a）s/rad106.72130max，s/rad106.0m2130min（b）max/radsMA1323.010，（c）eV044.0E0max1，eV040.0E0main2，eV020.0EAmax3（d）由玻色-爱因斯坦分布，0/11EkTfe0maxmax0/10.221okTfe；0minmin0/10.281okTfe；maxmax0/10.871AAkTfe；(e)由max2ochh可得：m108.2c25omax2-7.设晶体中每个振子的零点振动能量12，试用德拜模型求晶体的零点振动能。解：晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和，并且2232336()()2DppVNdd=vvV00221/30023032139()()(6)22839()168p0pDpDDpVNEddNvvVVvNv2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成()cos()UaAa。试由简谐近似求（1）色散关系；（2）模式密度()；（3）晶格热容（列出积分表达式即可）解：（1）原子间的弹性恢复力系数为22222[cos()]11)cos=(aarararadAdUaaAaAdrdraaaa将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，即12sin2qam，得到：qa21sin)mA(a22/1（2）对于一维简单晶格，有/0/()()DaadqdqN，q值分布密度()/2qL在波矢qqdq中的振动模式数为()22LNaqdqdqdq，所以：//0//()()()Daaaadddqdqqdqdqdq所以，()()dqdq21/2221/200cos()[1sin()]()2222dqaaqaaadqm代入上式，有1221/210221/20()()()[()]221()dNaaqdqN（3）利用教材第二章中的式（2-81），得00/20/2221/2000()(1)()DkTVkTLeCkdakTe2-9.有人说，既然晶格独立振动频率υ的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而hυ代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确?提示：不正确，因为平均声子数与与温度有关。2-10.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温