第1章-电磁场的数学物理基础.

第1章电磁场的数学物理基础1.1电磁场物理模型的构成1.2矢量分析与场论基础1.3电磁场的数学模型——麦克斯韦方程组1.1电磁场物理模型的构成理想化假设实际的电工、电子技术装置电路模型(一种具体的物理模型)电路模型：理想电路元件(R、L、C)及其组合理想电压源、电流源(e,i)分析问题以u，i为基本物理量给定激励(e,i)求响应(u,i)电路分析：电磁场分析：理想化假设实际电磁装置中的电磁现象和过程电磁场的物理模型电磁场的物理模型：连续媒质的场空间(,,及其相应的几何结构)理想化的场源(q,i)分析问题以为基本物理量(场量)给定源量(q,i),求场分布()EBDH、、、EBDH、、、以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为(1)给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；(2)运用相应的分析计算方法；(3)解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。1.1.1源量两类场源（电荷q、电流i）1.电荷q（Charge）e=1.60217733×10-19C取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式：点电荷分布形式（pointcharge）（——源点的位矢）rqr体电荷密度（volumechargedensity）30C/mddlimVrqVrqrV面电荷密度（surfacechargedensity）20C/mddlimSrqSrqrSC/mddlim0lrqlrqrl线电荷密度（linechargedensity）2.电流i（current）dddSqiJStJ定义一个与电流相关的点函数，作为产生场效应的源量，体电流密度(简称电流密度)矢量点函数：方向：正电荷运动的方向大小：n20nndlimA/mdSiiJSS1.1.2场量对应于电场和磁场效应的两个基本场量(、)EB1.电场强度（electricfieldintensity）E•试体电荷qt0(正电荷)•试体电荷几何尺寸很小(“点”特性的描述)•试体电荷电量很小，不足以影响所研究的电场分布t0tlimN/C,V/mqFrErq2.磁感应强度（magneticfieldinduction）B(1)洛仑兹力BvqFdd•洛仑兹力Fd定义Wb/mT,ddmaxqvFBvFd•FdBv•方向，由决定(2)安培力公式BlIFdd磁场强度A/mBH2C/mED电位移矢量1.1.3媒质的电磁性能参数反映媒质在电场作用下的极化性能——介电常数(F/m)反映媒质在电场作用下的导电性能——电导率(1/m=S/m)反映媒质在磁场作用下的磁化性能——磁导率(H/m)CRL真空（自由空间）中电磁性能的特征参数-9-1201108.85410F/m36-70410H/m光速8001310m/sc1.2.1标量场的梯度GradientofScalarField1.2矢量分析与场论基础设一个标量函数(x，y，z)，若函数在点P可微，则在点P沿任意方向的方向导数为lcoscoscosxyzlxlylzlxyzxyzGeeexyzcoscoscoslxyzeeeecos(,)llGeGGelcos(,)1lGemaxGlgradxyzGeeexyzxyzeeexyz纳布拉算子gradxyzeeexyz梯度的意义：标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最大方向导数。梯度的方向为该点最大方向导数的方向。例1.1电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。例1.2设一标量点函数(1)该点函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；22()(,,)rxyzxyz描述了空间标量场。试求：(2)求该点函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。cos62zecos60cos45lxyeee[解](1)由梯度定义,可解出待求P点的梯度为22(1,1,1)()(22)22xyzPPxyzxyzeeexyzyxzxeyeeeee++222(1,1,1)coscoscos22(2)(2)(1)221333GxyzPPxyzxyzeeeexeyeexyeee(2)211(22)222122lxyzxyzGelxeyeeeeexy(1,1,1)1221222Pxyl222222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxyzxy显然，梯度描述了P点处标量点函数的最大变化率，即系最大方向导数，故，恒成立。PPPl1.2.2矢量场的通量与散度FluxandDivergenceofVectorField对于一个矢量场，通过空间某一曲面的通量为矢量场对该曲面的面积分。(,,)Fxyz通量：(,,)dSFxyzS(,,)dSFxyzS根据通量的大小判断闭合面中源的性质：000(有正源)(无源)(有负源)矢量场的散度：VSP(1)有无电荷？(2)在该点的电荷分布的密度？将S向P点收缩，即令其所界定的体积V→0（物理无限小），而求穿过该微小表面S的通量与V比值的极限，即D数学上的处理方法：00dlimlimSVVDSqVV0ddivlimSVDSDV矢量场的散度为一标量；该处线是连续的div0DDdiv00D该点有发出通量线的源（正源）div00D该点有汇集通量线的汇（负源）散度起到了检测通量源的作用；矢量散度值与所选坐标系无关，但若以该矢量的分量表示该矢量的散度时，则数学表达式将因坐标系不同而互异。直角坐标系下散度()的表达式：divD不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。设场量仅为空间坐标的函数；D表达式的推导用图divDzzDDxxDDyyDDyxOyzxzzDDyyDDxxDD000,,PxyzSVz000000000000000000,,222,,000,,,,,,2,,212!2,,2xxxxxxyzxxyzxxxyzxDxyzDxyzDDxDxyzxDxxDxDxyzx000000000,,,,,,22xxxxyzDxxDxyzDxyzx000000,,,,22xxxDxxDxyzDxyzyzxyzxdyxzSDDDDSxyzxyzxyzxyzVxyz0ddivlimSVDSDVyxzDDDxyzxyzeeexyzdivDD散度定理ddSVFSFV高斯定理建立了某一空间中的场与包围该空间的边界场之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的相互转换。1.2.3矢量场的环量与旋度CirculationandCurlofVectorField矢量场沿空间有向闭合曲线的线积分。(,,)Fxyz环量：(,,)dlFxyzl环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。无旋有旋矢量场的旋度：Hl000,,PxyzlSdSnJJtJJ线SilHld(1)电流是否通过P点所在的微小表面S？(2)在P点上的电流密度有多大？dlHlin00dlimlimcoslSSHliJJSSn0maxdcurllimlSHlHeJSnn0dcurllimlSHlHJS旋度是一矢量；curlHne旋度的方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，并和获得最大环量位置的面元的法线方向()相一致；矢量的旋度值与所选择的坐标系无关，但若以该矢量的分量形式来表示其旋度时，则数学表达式各异。直角坐标系下旋度()的表达式：curlH设场量仅为空间坐标的函数；D为简便起见，围绕P点在xOy平面上作一很小的矩形积分回路，如图所示。表达式的推导用图curlHRCScurl(curl)(curl)(curl)xxyyzzHHeHeHe1234112233441234dddddxxxxlllllxyxyHlHlHlHlHlHxHyHxHy00100,,2xxxxyHyHHxyy同理00200,,2yyyxyHxHHxyx00300,,2xxxxyHyHHxyy00400,,2yyyxyHxHHxyxdyxlHHHlxyxy00ddcurllimlimyllxzSSHlHlHHHSxyxycurlyyxxzzxyzHHHHHHHeeeyzzxxycurlxyzxyzeeeHHJxyzHHH斯托克斯定理建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。矢量函数的线积分与面积分的相互转换。ddLSFLFS1.2.4矢量分析常用的恒等式0V2()AAA=()AAA+2VV()0A1.2.5亥姆霍兹定理若矢量场在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即()Fr()()()FrrAr标量函数1d4VFrrVrr矢量函数1d4VFrArVrr其中是源点()到场点()的距离；||rrrr积分也对源点坐标展开。xyzeeexyz算子是对源点坐标进行运算的；定理的内涵：矢量场的特性取决于该矢量场的散度和旋度特性；给出了场量与场的散度源和旋度源之间的定量关系；对特定的电磁场，可分类予以定义，分析各自的规律性。分类：(1)无旋场(irrotationalfield)()0Fr()0Fr例如静电场(,)()0BrtErtD从而由矢量恒等式0可定义（—电位函数）gradE势量场，或位场(potentialfield)(2)无散场(无源场、管量场solenoidalfield)()0Fr()0Fr例如恒定电流的磁场()0BrcHJB线线管(3)一般的场()0Fr()0Fr例如时变电磁场is()()()()()FrrArFF