第1章_傅里叶光学基础

第一章傅里叶光学基础第一章傅里叶光学基础1．1二维傅里叶分析1．2空间带宽积和测不准关系式1．3平面波的角谱和角谱的衍射1．4透镜系统的傅里叶变换性质1.1二维傅里叶分析1.1.1定义及存在条件复变函数器g(x,y)的傅里叶变换可表为G(u,v)=F{g(x,y)}=∞-∞g(x,y)exp[-i2(ux+vy)]dxdy(1)称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。(1)式的逆变换为g(x,y)=F-1{G(u,v)}=∞-∞G(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv(2)傅里叶-贝塞尔变换设函数g(r,)=g(r)具有圆对称，傅里叶-贝塞尔变换为G()=B{g(r)}=2∞org(r)Jo(2r)dr其中Jo为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶-贝塞尔逆变换为g(r)=B-1{G()}=2∞oG()Jo(2r)d变换存在的条件为(1)g(x,y)在全平面绝对可积；(2)g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何有限的区域内只有有限个极值；(3)g(x,y)没有无穷大型间断点。以上条件并非必要，实际上，“物理的真实”就是变换存在的充分条件。以下我们常用g(x,y)G(u,v)表示变换对．对于光学傅里叶变换，x，y是空间变量，u，v则是空间频率变量。在一维情况下，有时也用希腊字母v表示频率变量。1.1.2δ函数的傅里叶变换由δ函数的定义容易得到δ(x-xo,y-yo)exp[-i2(uxo+vyo)](3)当xo=0，yo=0时得到δ(x,y)1(4)上式的物理意义表示点源函数具有权重为l的最丰富的频谱分量．因此光学中常用点光源来检测系统的响应特性，即脉冲响应．(3)式还可表为,δ(x-xo,y-yo)=∞-∞exp{-i2[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv它正是δ函数的积分表达式．根据δ函数的偏导数的定义∞-∞δ(n)(x)g(x)dx=(-1)ng(n)(0)(6)得到δ(k,l)(x,y)的傅里叶变换δ(k,l)(x,y)=k+lδ(x,y)/xkyl)(i2u)k(i2v)l(7)1.1.3傅里叶变换的基本性质(1)线性(linearity)Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)(8)(2)缩放及反演(scalingandinversion)g(ax,by)G(u/a,v/b)/|ab|(9)上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩.特别是当a=b=-1时，得到反演的变换性质：g(-x,-y)G(-u,-v)(10)(3)位移(shift)g(x+xo,y+yo)exp[i2(uxo+vyo)]G(u,v)(11)上式表示原函数的位移引起变换函数的相移.(4)共扼(conjugation)g*(x,y)G*(-u,-v)(12)(5)卷积(convo1ution)g(x,y)和h(x,y)的卷积定义：g(x,y)h(x,y)=∞-∞g(,)h(x-,y-)dd易证明:g(x,y)h(x,y)G(u,v)H(u,v)δ函数的卷积有特殊的性质：g(x)δ(x-xo)=g(x-xo)(15)g(x,y)δ(k,l)(x,y)=g(k,l)(x,y)(16)(6)导数的变换公式可由(7)式导出g(k,l)(x,y)(i2u)k(i2v)lG(u,v)(17)(7)相关(correlation)函数g(x,y)和h(x,y)的相关定义为g(x,y)h(x,y)=∞-∞g(,)h(x+,y+)dd当g=h时成为自相关，有g(x,y)g(x,y)=∞-∞g(,)g(x+,y+)dd相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：g(x,y)h(x,y)=g*(-x,-y)h(x,y)G*(u,v)H(u,v)g(x,y)g(x,y)∣G(u,v)∣2(21)自相关与功率谱构成傅里叶变换(8)矩(moment)g(x,y)的(k,l)阶矩定义为Mk,l=∞-∞g(x,y)xkyldxdy(22)将逆变换表达式(2)代入上式，得到Mk,l=∞-∞G(u,v)dudv∞-∞xkylexp[i2(ux+vy)]dxdy由δ函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分∞-∞xkylexp[i2(ux+vy)]dxdy=(i2)-k-lδ(k,l)(u,v)矩的表达式Mk,l=(-i2)-k-lG(k,l)(0,0)(9)Parseval定理g(x,y)h(x,y)G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为∞-∞g(,)h(x+,y+)dd=∞-∞G*(u,v)H(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv令x=y=0，上式为∞-∞g(,)h(,)dd=∞-∞G*(u,v)H(u,v)dudv这一关系式称为Parseval定理．当h=g时，上式化为∞-∞g(,)2dd=∞-∞G(u,v)2dudv该式又称完备关系式，实际上是能量守恒定律在空域和频域中表达式一致性的表现．1.1.4特殊函数及其傅里叶变换1、rect(x)，(x)及sinc(x)函数定义(1)rect(x)函数rect(x)=1，|x|½rect(x)=0，其他(2)(x)函数(x)=1-|x|，|x|1(x)=0，其他(3)sinc(x)函数sinc(x)=(sinx)/x½-½11-11.1.4特殊函数及其傅里叶变换rect(x)，(x)及sinc(x)函数傅里叶变换：傅里叶变换分别为rect(x)sinc(u)sinc(x)rect(u)(x)sinc2(u)1.1.4特殊函数及其傅里叶变换2、符号函数sgn(x)和阶跃函数step(x)符号函数sgn(x)定义sgn(x)=1，x0sgn(x)=0，x=0sgn(x)=-1，x0阶跃函数step(x)定义step(x)=1，x0step(x)=0，x0oo1.1.4特殊函数及其傅里叶变换sgn(x)函数和step(x)函数傅里叶变换傅里叶变换为sgn(x)1/iustep(x)=sgn(x)/2+1/21/i2u+(u)/2利用step(x)的变换式及卷积定理，可求出积分x-∞g()d的变换：x-∞g()d=∞-∞g()step(x-)d=g(x)step(x)G(u)[1/i2u+(u)/2]1.1.4特殊函数及其傅里叶变换3、周期函数设函数g(x)可展开为傅里叶级数g(x)=∞-∞Cnexp(i2nfox)(38)式中Cn=(1/X)X/2-X/2g(x)exp(-i2nfox)dx周期X=1/fo．对(38)式两边取傅氏变换得G(u)=∞-∞Cn(u-nfo)(40)推导中用到积分变换式：(u-nfo)exp(i2nfox)．1.1.4特殊函数及其傅里叶变换g(x)=∞-∞Cnexp(i2nfox)G(u)=∞-∞Cn(u-nfo)(40)4、函数comb(x)comb(x)=∞-∞(x-n)=∞-∞exp(i2nx)(42)系数Cn=1．因此由(40)式可得comb(x)comb(u)(43)1.1.4特殊函数及其傅里叶变换4、函数comb(x)设X为实数常数，则有(1/X)g(x)comb(x/X)=(1/X)∞-∞g()comb[(x-)/X]d=(1/X)∞-∞g()∞-∞[(x-)/X-n]d=∞-∞∞-∞g[X(/X)][x/X-/X-n]d(/X)=∞-∞g[X(x/X-n]=∞-∞g(x-nX)(44)结果得到了以nX(n=0，±1，±2，…)为中心的一系列重复出现的波形g(x-nX)，这一现象称为“复现”．1.1.4特殊函数及其傅里叶变换4、函数comb(x)gs(x)=g(x)comb(x/X)=g(x)∞-∞(x/X-n)=∞-∞g(nX)(x-nX)gs称g的抽样函数，X为抽样间隙，xn=nX称样点，g(xn)称样值．所以g(x)的抽样函数gs(x)是以样值为权重的函数序列．1.1.5功率谱与空间自相关函数由Parseval定理∞-∞g(x,y)2dxdy=∞-∞G(u,v)2dudvg(x,y)为光场的复振幅分布，g(x,y)2代表光强分布，G(u,v)2则表示单位频率间隔的光能量，称为功率谱，用s(u,v)表示为s(u,v)=G(u,v)2(46)根据变换定理，我们得到g(x,y)g(x,y)∣G(u,v)∣2=s(u,v)(47)1.1.5功率谱与空间自相关函数g(x,y)g(x,y)∣G(u,v)∣2=s(u,v)(47)gg在光学上称为空间自相关函数．上式表示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换．空间自相关函数表征空间相距为(x,y)的两点之间场的相似性或关联性，它是场的空间相干性的度量。场的相干性较高时，功率谱的弥散就较小，表示光功率在频域内集中在很小的区域中(可称为准单色光)；反之当场的相干性较差时，功率谱的弥散就较大，表示光功率在频域中分布在较大的区域内，包含较宽的波段。1.2空间带宽积和测不准关系式1.2.1空间带宽积与自由度如果信号g在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为“带限函数”。1、Whittaker-Shannon抽样定律：带限函数g(x,y)被它的抽样值的无穷集合{gmn=g(m/u,n/v)}完全确定，式中u，v是频带的宽度，m,n=0,±l,±2,…。2、空间带宽积与自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零．1.2.1空间带宽积与自由度1.2.1空间带宽积与自由度2、自由度实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在r[-x/2,x/2,-y/2,y/2]矩形区域内，又设系统的带宽u，v与抽样间隙X，Y满足倒数的关系，则在r内共有抽样点N个，N=xy/XY=xyuv=SW(1)式中S=xy,W=uv。SW称空间带宽积，是评价系统性能的重要参数，(1)式指出通过系统的样点数等于空间带宽积．因为一个在频域中非无限扩展的信号(带限信号)，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。例如信号分布在矩形r内，那么这个信号就被它的N个样值基本上确定了。我们称这个信号有N个自由度，显然自由度数等于空间带宽积．如果系统的输入端面的尺寸小于r，则自由度数将小于N．所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特征，因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量．例如对于一个成像系统，限制空域尺寸的是视场光阑的大小，限制频域尺寸的是孔径光阑的大小。显然视场越大、孔径越大的系统能传递更多的信息．1.2.2系统的分辨率考虑一个低通滤波性能的系统的分辨率，即输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距(最小分辨长度)的倒数。由抽样定理可知，对任意输入信号g(x,y)来讲，由于系统频率响应特性的限制，其效果都是带限的，因此可以用抽样函数gs(x,y)来代替它。只要抽样点充分稠密，即条件X≤1/u，Y≤1/v(4)满足时，对于系统输出端而言，gs和g等价，在输出端并不能觉察出gs的周期结构，或者说gs包含的脉冲是不可分辨的。1.2.2系统的分辨率当条件(4)不满足时，gs和g对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出gs的周期结构，或者讲gs中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。这样，系统的最小分辨长度x和y应当与(4)式表示的X，Y同数量级，从而与带宽成反比：x1/u，y