函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.如何利用导数研究函数的单调性呢?观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy如果恒有，则是?。)(xf0)('xf常数例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以12432)(23xxxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)0(或f’(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论归纳:练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a练习2.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab练习3.求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:762)(23xxxf.126)(2xxxf)2,0(由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf20x)(xf)2,0()2,0()(xf325例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围ax-xx-13a2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.322()f'xax增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增32()0,即在（0，1]上恒成立f'xa-xx31max而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-1gxxgxg1〉a-2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.增例2：322当a1时，()f'xx1对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数f'xa-fx所以a的范围是[-1，+）本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证()0(或0)f'x()0(或0)f'x说明:例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.小结:1.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy如果恒有，则是常数。)(xf0)('xf2.求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)0(或f’(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）3.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论作业:P13:1—9选做10