第0章矢量分析.

第0章矢量分析(附录一)第0章矢量分析（附录一）第0章矢量分析(附录一)本章主要内容框架标量场方向导数梯度矢量场通量散度环量旋度等值面矢量线无源场无旋场亥姆霍兹定理第0章矢量分析(附录一)三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。§1正交坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。第0章矢量分析(附录一)1.直角坐标系zeyexerzyx位置矢量面元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量zyx,,坐标单位矢量zyxeee,,点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第0章矢量分析(附录一)2.圆柱坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,,坐标变量zeee,,坐标单位矢量zeerz位置矢量zeeelzdddd线元矢量zVdddd体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系0（半平面）0（圆柱面）0zz（平面）),,(000zP第0章矢量分析(附录一)ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3.球坐标系,,r坐标变量eeer,,坐标单位矢量rerr位置矢量dsindddrererelr线元矢量dddsind2rrV体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系0（半平面）0（圆锥面）0rr（球面）),,(000rPrddrsin第0章矢量分析(附录一)4.坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标与圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系zereeecossincossinsincos0xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系zeeree第0章矢量分析(附录一)1.标量和矢量矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示：AeAeAAA矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示A矢量的几何表示§2标量场和矢量场第0章矢量分析(附录一)zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第0章矢量分析(附录一)（1）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法BAAB矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律()()ABCABCABBA交换律第0章矢量分析(附录一)（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcosABBA——矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0xzzyyxeeeeeeAB矢量与的夹角ABABAB0BA//ABAB第0章矢量分析(附录一)（4）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量与的叉积AB用坐标分量表示为写成行列式形式为BAABBA若，则BA//0BA若，则第0章矢量分析(附录一)（5）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积第0章矢量分析(附录一)如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：、),,,(tzyxu),,,(tzyxF分布着某种物理量的空间区域称为物理量的场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：3.标量场和矢量场、),,(zyxu),,(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：第0章矢量分析(附录一)本章主要内容框架标量场方向导数梯度矢量场通量散度环量旋度等值面矢量线无源场无旋场亥姆霍兹定理第0章矢量分析(附录一)1.标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。)(),,(常数Czyx等值面方程：•常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。例如：电位场中等位面，温度场中的等温面等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。第0章矢量分析(附录一)等高线等值线:在平行平面标量场中，函数具有相同函数值的点所组成的曲线。y)(x,)(),(常数Cyx等值线方程：课堂提问：常见的等值线有哪些？地面气象图的等温线地形图中的等高线右图中的等高线密集处表示什么意思？有什么意义？第0章矢量分析(附录一)2.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。l0l•——方向导数沿方向增加；l0l•——方向导数沿方向减小；l0l•——方向导数沿方向无变化。P0lPΔl方向导数的概念l特点：方向导数既与点P0有关，也与方向有关。概念：——的方向余弦。l式中：coscoscos、、coscoscoszyxlcoscoscoszyxleeee方向的单位矢量l第0章矢量分析(附录一)问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？glegl-1-),cos(，),cos()coscoscos()(llzyxzyxeggegeeezeyexel00),cos(legl，当两者方向一致，方向导数最大当两者方向垂直，方向导数为零当两者方向相反，方向导数最小glegl，1),cos(zeyexegzyx第0章矢量分析(附录一)梯度的表达式：zeeez1圆柱坐标系sin11rererer球坐标系zeyexezyx直角坐标系3.梯度意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：定义矢量函数为标量场的梯度，记作ggradzeyexezyxgrad引入哈密顿算子，故第0章矢量分析(附录一)•标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第0章矢量分析(附录一)作业1设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee第0章矢量分析(附录一)本章主要内容框架标量场方向导数梯度矢量场通量散度环量旋度等值面矢量线无源场无旋场亥姆霍兹定理第0章矢量分析(附录一)如何推出？意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。dzdydxyxzAAA矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线Odrlrdl1.矢量线0ldAA直角坐标系中：线元例如：静电场中电力线，流速场中的流线xyzxyzxyzyzxzxyeeeAdlAAAdxdydzeAdzAdyeAdxAdzeAdyAdx第0章矢量分析(附录一)闭合曲面的面元开曲面的上的面元2.矢量场的通量面元矢量：面积很小的有向曲面),,(zyxASdne面积元矢量Sd描述矢量场的分布情况dSeSdn确定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋—拇指方向闭合曲面的外法线方向面积元的法向单位矢量第0章矢量分析(附录一)通量的概念在矢量场中，取一曲面S，那么矢量场A在S上的面积分为以流速场为例,说明通量的意义：00流出多于流入，S内有生成流体的“源”流出小于流入，S内有吸收流体的“洞”流出等于流入，S内无源或者正源等于负源SzyxSdxdyAdxdzAdydzASdASSdv0第0章矢量分析(附录一)矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义0通过闭合曲面有净的矢量线穿出0有净的矢量线进入0进入与穿出闭合曲面的矢量线相等第0章矢量分析(附录一)3.矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任一点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。矢量场在任一点附近的通量特性VSdzyxAzyxASV),,(lim),,(0第0章矢量分析(附录一)圆柱坐标系22111()(sin)()sinsinrArAAArrrr()zAAAAz球坐标系yzxAAAAxyz直角坐标系散度的表达式：散度的有关