第1章期望效用函数理论与单期定价模型

数理金融第1章期望效用函数理论与单期定价模型第1章期望效用函数理论与单期定价模型1.期望效用函数理论2.投资者的风险偏好和风险度量3.单期定价模型本章内容概览1.1序数效用函数1.1.1偏好关系Bnn设是维欧氏空间中的凸集，RB在中引入一个二元关系记为“”，如果它具有1,xBxx（）（反身性）若则；2,,;xyBxyyx（）（可比较性）若则或者1.1.1偏好关系3,,,,,xyzBxyyzxz（）（传递性）若如果则。我们称“”是一个偏好关系。,,,xyBxy注：若xyxy则认为比好，或者不比差。xyyxxyxy若与同时成立，则和偏好无差异，记作。xyyxxyxy若但不成立，则严格地比好，记作。1.1.2字典序例如：设选择集2,)[0,),[0,)Bxyxy（22B显然是中的凸集，R2B在上，定义二元关系如下所述：112222,),(,),xyBxyB若（1212121122,,,,)(,)xxxxyyxyxy如果或者定义（。1.1.2字典序问题验证上述的二元关系是否是一偏好关系？1.,,xyB2若（),,xxyy因为(,),xy按定义（x,y)即反身性成立。1122222.,),(,),xyBxyB若（12,xx如果1122,)(,),xyxy按定义得（反之，12,xx如果2211,)(,),xyxy则（1.1.2字典序1212,,xxyy如果122,)(,),yxy1按定义则（x1212,,xxyy如果2211,)(,)xyxy则（即可比较性成立。1122223323.,),(,),(,)xyBxyBxyB设（112233,)(,)(,),xyxyxy若（13,xx显然131133,,)(,),xxxyxy如果按定义得（13123,,xxxxx如果此时1.1.2字典序1122(,)(,),xyxy因为12,yy所以2233,)(,),xyxy又（23,yy故131133,,)(,),yyxyxy于是从而（即传递性成立。1.1.3效用函数效用函数定义B设是具有偏好关系“”的选择集，UBR：的单值函数，,,()()xyBUxUy如果,xy当且仅当U则称为效用函数。1.1.4偏好关系的三条重要性质性质1（序保持性）,,,,[0,1]xyBxy对任意及[(1)][(1)]xyxy当且仅当证明字典序具有性质1必要性因为，若，必有22112211,1,,1,yxyxyxyx～12,xx若，由于则有()()()121221221xxxxxxxxaaab+-=-+?+()()()121221221yyyyyyyyaaab+-=-+?+证明字典序具有性质1（续）必要性因此11221122,1,,1,xyxyxyxy矛盾，故必有。证明字典序具有性质1（续）必要性1122221122,,),(,)(,),,(0,1),xyBxyBxyxy若，（则根据向量运算法则22122121212211,1,1,1,yyyxxxayyxxyxyx证明字典序具有性质1（续）必要性22122121212211,1,1,1,yyyxxxyyxxyxyx11221122,1,,1,xyxyxyxy若则必有。证明字典序具有性质1（续）充分性设。根据字典序的定义，可能有以下两种情况121212,xxxxyy，或。分别证明如下。121221221,xxxxxxxx（）若则结论成立。12122,xxyy（）若，则有证明字典序具有性质1（续）充分性221221xxxxxx221221yyyyyy故22112211,1,,1,yxyxyxyx1.1.4偏好关系的三条重要性质性质2（中值性）,,,xyzB对任意,xyz如果那么存在惟一的（0，1）(1)xzy使。证明字典序不具有性质2112222332,),,,(,),xyBxyBxyB取（12323,xxxyy且，根据字典序定义，112233,,,xyxyxy此时0,1对任意，我们有11331123,1,,)(1)(,)xyxyxyxy（1213[1,1]xxyy证明字典序不具有性质2（续）1201,,xx因为有2221211xxxxxx113322,1,,xyxyxy所以，0,1因此不存在使得113322,1,,)xyxyxy（这说明字典序不具有性质2。1.1.4偏好关系的三条重要性质性质3（有界性）**,,xyB存在,zB使对任意**xzy有。1.1.5序数效用函数存在定理定理1.11.1.413BU+设选择集上的偏好关系“”具有节中的性质性质，则存在效用函数：BR使得1)();xyUxUy（）当且仅当（(2))()xyUxUy当且仅当（。序数效用函数存在定理证明由性质3，**,xyB存在xB使对任意Î**xxy有。**xy如果～，xB此时对任意，Î**xxy有～～，()Uxc我们定义（常数）。=此时定理显然成立。**xy若，xB对任意的，Î因为B存在偏好关系，只有3种情况：序数效用函数定理证明*1.()1zxUz情况当～时，定义；*2.y()0zUz情况当～时，定义；**3.0,1)xxy情况当时，性质2存在唯一的（aÎ**1,xxy使～()Ux此时我们定义。)();xyUxUy（1）证明当且仅当（必要性xy设**xxyy如果～，()1Ux此时，**xyy由于，0,1则存在唯一**1yxy使～，()1,Uy按定义()()UxUy所以。)();xyUxUy（1）证明当且仅当（**xxyy当～，()0Uy此时，按定义，**xxy由于，0,1则存在唯一**1xyx使～，()0,Uxa=此时()()UxUy即成立。)();xyUxUy（1）证明当且仅当（**xxyy如果，12则存在，，使**111xyx～，1()Ux按定义，**221xyy～，2()Uy按定义，由性质1（序保持性），xy由于，12,必有()()UxUy故。充分性)();xyUxUy（1）证明当且仅当（,xyB假设已知，()),UxUy且（xy证。2()1,()(0,1),UxUy若****22111(1),xxyyxy此时～，21,由于由保序性，xy。()1()0UxUy若，时，**xxy按定义～～y，xy故。)();xyUxUy（1）证明当且仅当（充分性1()01()0,UxUy若（，），此时***010,yyxy～**111xxy～10,由于xy故。1()()0,UxUy若12(),(),UxUy此时令由U的定义，**111,xxy～**221yxy～12()(),UxUy因为由性质1xy必有。必要性1.12~()()xyUxUy定理（）证明：当且仅当。,xyB任取，xy设，()(),UxUy证若不然，()UxUy。()UxUy不妨设，由结论1，xy此时有，xy这与矛盾。充分性1.12~()()xyUxUy定理（）证明：当且仅当。()UxUy若，xy而不成立，xyyx此时有两种可能：，或者。1)()UxUy由结论（，必有，xy矛盾，所以，证毕。说明设U是效用函数，:GRR函数是正值严格单调增加函数，GU:BR容易证明复合函数也是效用函数。注1序数效用函数不是唯一的，但是都具有如下性质：1.()UxUy的充要条件是：xy2.()UxUy的充要条件是：xy说明注2在字典序上不存在与字典序相一致的效用函数。2B可以证明在字典序上，不存在序数效用函数。注3B设是具有偏好关系的有限集，:UBR则存在效用函数使得(1)()()xyUxUy当且仅当(2)()()xyUxUy当且仅当B当只有两个元素时，结论显然成立。12,,nxxx设B有n个元素时，定理成立。利用数学归纳法证明注3121111111B111,nkkknknnnxxxknxxxxxxxxx证明有个元素时定理也成立。不妨假设。如果不存在，使，则必有或者。利用数学归纳法证明注3（续）；，定义如果；，定义如果，定义如果，定义如果现在定义)(U2)U()(U21)U()];U()U([21)U();U()U(~:)U(1111111111111nnnnnnkknknkknknnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用数学归纳法证明注3（续）论成立。由数学归纳法，可见结。其中。，当且仅当；，当且仅当）（满足如下条件：，效用函数容易验证，如上定义的1,,2,1,~)()U()()()U(UnjixxxUxbxxxUxajijijiji1.2期望效用函数引言在1.1节中，我们讨论了当选择对象是确定的，且满足偏好关系的三条性质（序保持性、中值性和有界性）的条件下，序数效用函数的存在性定理。本节将把效用概念推广到选择对象包含不确定（风险）的情形。假设投资者在形如下面的“彩票”中选择，收益（盈利或奖金数额）用表示，对应的概率为12,,,)nxxx（12(,,,)nppp1.2.1彩票及其运算彩票概念：12,,...,nnxxx假设随机变量有个结果，随机变量的概率分布可用向量表示为12=1(,,...)0,=1nniiiPppppp1212(,,,;,,...)=(,)nnPxxxppp我们称为彩票（或一次性抽彩）。xP1.2.1彩票及其运算结论nBR集合是形如的彩票构成的集合，它是的凸集P1212(,,...)(,,,)nnpppqqq把两个概率分布和看作是结果出现的概率不同的两张“彩票”。PQP如果选中的概率为，选中Q的概率为1-，1122(1),(1),....(1)nnipqpqpq那么得到第个结果出现的概率等于nR因此，彩票集合是的凸集。1.2.1彩票及其运算性质B设是所有彩票构成的集合，(;)(;)B设，PxPQ=xQ1,0定义复合性抽彩为：1122|(1)(1),(1),...(1)nnpqpqpqPQ可以证明[01]B1.设、，，，PQ(1)B；PQ[01]B2.设、，，，PQ(1),10则；PPPPQP1.2.1彩票及其运算性质[01]B3.设、，，，PQ(1)(1)则；PQQP123[01]B4.设、，，，，，PQ则133122[(1)(1)(1)]PQPQ13121312(1)(1(1)PQ1.2.2彩票集合上的偏好关系B又假设中元素定义满足如下条件的偏好关系具有1B（）（返身性）任意，有。PPP2（）（可比较性）对任意,B,则或者，或者。PQPQQP1231223133,,BP（）（传递性）对任意，如果，，则。PPPPPPPP1.2.2彩票集合上的偏好关系性质1（保序性）B对任意，，设，，[0，1]，则PQPQ(1)[1]