第1章概率论基础.

随机信号分析朱立东通信抗干扰技术国家级重点实验室2019/12/202课程基本情况•课程类别：学科基础课•教学目标：讲述随机信号的基本概念、基本分析方法及其应用。基本内容包括：随机信号的基本概念、随机信号的概率特性和矩特性、随机信号的功率谱分析、随机过程的平稳性与各态历经性、随机信号与噪声通过线性系统、高斯与窄带高斯随机过程等。要求通过本课程学习掌握随机信号的基本理论与特性、随机信号的基本分析方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。•学时/学分：48/3•周学时：42019/12/203–先修课程•概率论与数理统计•信号与系统•电路分析基础–后续课程•通信原理•数字信号处理•移动通信系统与其他课程的关系2019/12/204教材及参考资料1、教材《随机信号分析》（第4版）李晓峰，周宁，傅志中，李在铭。电子工业出版社，2007年2月(“十一五”国家级规划教材)2、参考资料–陈良均，朱庆棠，《随机过程及应用》，高等教育出版社，2006年1月–王永德，王军，《随机信号分析基础（第3版）》，电子工业出版社，2009年3月–赵淑清，《随机信号分析（第2版）》，电子工业出版社，2011年8月2019/12/2052019/12/2062019/12/207–考核方式•平时考核：考勤＋作业（占20％）•期中考试：占10％•期末考试：占70%–学习方法课程考核2019/12/208联系方式•授课教师：朱立东•办公室：清水河校区主楼B3-419•E-mail：[e-mail]•电话：61830407•助教：李成杰（[e-mail],18782905896）2019/12/209–复习•第1章：概率论基础–随机过程的基础理论•第2章：随机信号•第3章：平稳性与功率谱密度•第4章：各态历经性与随机实验–随机过程的应用•第5章：随机信号通过线性系统•第6章：带通随机信号课程内容安排2019/12/2010第1章概率论基础1.1概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3随机变量的函数1.4数字特征与条件数学期望1.5特征函数1.6典型分布1.7随机变量的仿真与实验（不要求）2019/12/2011第1章概率论基础1、复习与总结概率论的基本知识2、扩充一些新知识点（1）利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数（2）随机变量的条件数学期望（3）特征函数（4）瑞利与莱斯分布2019/12/2012基本概念（1）随机现象客观现象分为两类：确定与非确定性现象确定性现象：特点及研究方法；非确定性现象：特点，又称为随机现象。1.1概率公理与随机变量2019/12/2013定义：在一定条件下，对某种现象进行实际观察时，所得结果不能预先完全地确定，而只能是多种可能结果中的一种。（2）随机试验在一定安排下，观察并分析随机现象的全过程称为随机试验，记为E。2019/12/2014随机试验举例•投掷骰子•抛硬币，观察正反面•医院新婴儿出生，观察性别•棋类比赛，观察输赢结果•观察电话机打进打出的时间间隔情况•其他2019/12/2015通信机的输出噪声波形2019/12/2016a~d为源信号，i,g为检测信号，e~h为估计信号2019/12/201702468x104-101源信号02468x104-101混合信号02468x104-101样本点数分离信号02468x104-10102468x104-10102468x104-101样本点数02468x104-10102468x104-10102468x104-101样本点数2019/12/2018随机试验具有以下特征：①它可在相同条件下重复进行；②试验的全部可能结果（不止一个），是在试验前就明确的；③一次试验结束之前，不能准确预知哪一个结果会出现。2019/12/2019（3）样本点与样本空间随机试验的表示为随机试验的基本可能结果样本点随机试验的全部基本试验结果的集合，称为随机试验的样本空间，记为={}：为随机试验的所有样本点ii不同的随机试验具有不同的样本点和样本空间;相同的试验安排不一定具有同样的样本空间。2019/12/2020必然事件：在随机试验中必然发生的事件不可能事件：在随机试验中必然不发生的事件基本事件：在随机试验中必发生一个且仅发生一个的最简单事件复合事件：由若干基本事件组合而成的事件定义：随机试验中满足某种条件的一个样本集合A，称为随机事件。分为几类：（4）事件2019/12/2021基本概念小结随机试验（RandomExperiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。样本空间（SampleSpace）：随机实验所有的基本可能结果，称Ω。Ω的元素称为样本点。事件（Event）：试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是Ω的子集。各种不同事件的总体构成一个事件集合，称为事件域F2019/12/2022概率（Probability）：事件是随机的，赋予每个事件一个出现可能性的度量值，称为概率。“可能性的度量值”是宏观意义下（即大数量情形下）的比例值，由相对频率（RelativeFrequency）来计算。A()(n)AnPAn试验中出现的次数＝很大总试验次数2019/12/2023试验中有某一个被测量X(s)，在第i次测试时取值为，那么这个被测量X(s)的平均取值是：)(isxniisnxx1)(1An经验表明，同一个试验独立地重复进行时，和是相对稳定的，且有极限存在：XAnnAplim][/n2019/12/2024niinsnXEx1)(1lim][P[A]称为事件A在该试验中发生的概率；E[X]称为变量X在该试验中的统计平均或数学期望。P[A]和E[X]在大量试验观察时是稳定的、确知的事件、变量和信号的可预测性2019/12/2025随机现象在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果又具有规律性，称大量同类随机现象所呈现的固有规律为随机现象的统计规律性。2019/12/2026概率公理：任何事件A的概率满足（1）非负性：任何事件A，P(A)≥0（2）归一性：P(Ω)=1（3）可加性：若事件A、B互斥，即A∩B=Ф，则P(AUB)=P(A)+P(B)1.1概率公理与随机变量2019/12/20271.1概率公理与随机变量事件概率的基本性质：(1)P()=0;(2)0P(A)1;(3)P(A)P(B),AB;(4)P(AB)P(A)P(AB)如果。2019/12/20281.1概率公理与随机变量条件事件：B|A=事件A发生条件下的事件B条件概率（ConditionalProbability）：(),P(A)0()PABPBAPA2019/12/20291.1概率公理与随机变量()()PABPAPB事件A与B独立（Independent）等价地定义为：多个事件A1,A2,…An彼此独立，1212()()kkknkkknPAAAPAPAPA2019/12/20301.1概率公理与随机变量事件的最基本运算：(1)P(A)=1-P(A)(2)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)()(3)P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(B)(BA)(4)P(AB)=P(A)P(BA),P(A)0=P(B)P(AB)如果彼此互斥如果,P(B)0=P(A)P(B)()(5)P(BA)=P(AB)/P(A),P(A)0如果彼此独立2019/12/20311.1概率公理与随机变量文氏图2019/12/20321.1概率公理与随机变量例1.1分析投掷均匀硬币问题。解：H表示正面，T表示反面。因此（1）样本空间：Ω={H，T}；（2）事件域：F={{H},{T},Φ,Ω}；（3）由硬币的均匀性可得，P{H}=P{T}=0.5,P{Φ}=0,P{Ω}=1。2019/12/20331.1概率公理与随机变量例1.2有N个格子排为一列，将一只小球随机地放入其中任一格子。对于k[1,N]，求：（1）小球放入第k号格子的概率；（2）前k个格子中有小球的概率。解：因为是等概的，显然P（小球放入任一格子）=1/N又因为各个格子是互相排斥的，故P（小球放入任意K个格子）=K/N2019/12/20341.1概率公理与随机变量几个基本计算公式（1）链式法则12121312121nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA2019/12/20351.1概率公理与随机变量1,1,2,,,;,()injiiAinAAPartioni事件组若满足ij,A则该事件组为样本空间的一个完备事件组或分割。完备事件组或分割：Bniii=1（2）任取事件，P(B)=P(BA)PA称为全概率公式2019/12/20361.1概率公理与随机变量1()(),1,2,,()()kkkniiiPAPBAPABknPBAPA()iPA()kPBA（3）贝叶斯（Bayes）公式：任取事件B，先验概率(PrioriProbability)：后验概率(TransitionProbability)：转移概率(PosterioriProbability)：()kPAB2019/12/2037例1.3在二元传输或检测中，假定二元消息表示为0与1，记为X，其先验概率分别为P{X=0}=0.9,P{X=1}=0.1，传输可靠性为80%。问：收到1时，真正发送的消息是什么？解：根据贝叶斯公式可得，0100.90.29010.90.20.10.813010111PXPYXPXYPXPYXPXPYX1110.10.84110.10.80.90.213111010PXPYXPXYPXPYXPXPYX因此合理的估计是“收到1时，真正发送的是0”。1()(),1,2,,()()kkkniiiPAPBAPABknPBAPA由于P{X=0|Y=1}P{X=1|Y=1}2019/12/2038•在样本空间Ω上定义一个单值实函数X(ξ)，称为随机变量（r.v.）。并规定：任取实数x，用{X(ξ)≤x}的概率来描述X(ξ)的概率特性，其中ξ在样本空间Ω上取值，记为FX(x)=P{X(ξ)≤x}称它为X的概率分布函数（PDF）或概率累积分布函数（PCDF），简称为分布函数。随机变量及其概率分布函数2019/12/2039•分布函数具有如下性质：1.F(-∞)=0,F(+∞)=1；2.F(x)是右连续的单调非降函数，即F(x1)≤F(x2),x1x2;F(x+)=F(x)；3.区间事件的概率计算公式：P(X=x)=F(x)-F(x-)P{x1x≤x2}=F(x2)-F(x1)P{x1≤x≤x2}=P{x1x≤x2}+P(x=x1)=F(x2)-F(x1-)P{x1xx2}=P{x1x≤x2}-P(x=x2)=F(x2-)-F(x1)其中F(x-)与F(x+)分别表示F(x)在x处的左、右极限。2019/12/2040随机变量的类型•连续型：F(x)是连续取值的，由于有无限多种取值而所有取值的概率之和为1，则•离散型：F(x)仅含有跳跃型间断点：{xi}；仅在这些点上有非零的概率：{pi},(i为整数)称为X的分布律（或分布列）。•混合型：F(x)既有连续部分，也有间断点，是连续型和离散型的组合。()0PXx()()()iiiiPXxpFxFx2019/12/2041•X的概率密度函数（PDF）：定义为分布函数的导数•密度函数的基本性质1.非负性与归一性：2.区间A上的概率计算公式：()()dfxFxdx+-()0,f(x)dx=1fx()APXAfxdx随机变量的概率密度函数2019/12/2042•f(x)的定义涉及导数运算，当F(x)不连