搜索
第1章真空中的静电场1.1复习笔记一、电荷与库仑定律1．电荷与电荷守恒定律（1）电荷的分类①正电荷：是指与丝绸摩擦过的玻璃棒上的电荷性质相同的电荷；②负电荷：是指与毛皮摩擦过的橡胶棒上的电荷性质相同的电荷．（2）电荷的量子化①概念：自然界任何宏观带电体所带电荷电量的最小变化量为e，即带电体电量的改变是一份一份地增加或减小，每一份的电量值为e．②特征：电量e很小，一般不考虑电荷的量子化，任何宏观带电体的电量变化量△q宏观上仍可看做是连续变化的随意小量．（3）电荷守恒定律对于任何一个没有净电量出入其边界面的物质系统（称为电孤立系统），不管系统内的物质如何运动或变化，系统内正、负电荷电量的代数和将保持不变．①电荷守恒定律另一种表述：一个系统内电荷总电量的改变量等于通过其边界流入的净电荷电量．②带电体所带电荷的电量与带电体的运动速度无关，即电荷的相对论不变性．2．库仑定律（1）点电荷①定义：点电荷是指具有一定电量而且可以忽略其体积大小、形状及其电荷分布情况对所讨论问题的影响的带电体．②特征：点电荷是抽象化的理想模型．（2）库仑定律①概念：真空中两个静止点电荷之间的作用力与它们所带电荷的电量乘积成正比，与它们之间的距离平方成反比．作用力的方向沿它们之间的连线，同性电荷为斥力．异性电荷为引力．②表达式a．式中q1、q2分别表示两个点电荷的电量，r21=r21，为从q1指向q2方向的单位矢量，为从q2指向q1方向的单位矢量．b．在MKSA单位制中，通常ε0来代替k，ε0与k的关系常量ε0称为真空介电常量，ε0=8.85×10-12C2·N-1·m-2，则c．用代替比例系数k后，库仑定律的数学表达式为3．两任意带电体间的静电力（1）点电荷组：是指由分布在r1，r2，…，ri，rN处的所带电荷量为q1，q2，…，qi，…，qN的N个点电荷组成的一个带电系统．（2）静电力的叠加原理①概念：N个点电荷对另一q0点电荷的静电力，等于N个点电荷中每个点电荷单独存在时对点电荷q0的静电力的矢量和．②表达式（3）实际带电体分类①体电荷分布带电体：是指带电体的电荷连续地分布于带电体体积内的各个地方；②面电荷分布带电体：是指带电体的电荷连续分布于厚度极薄的一层面上；③线电荷分布带电体：是指带电体的电荷连续分布于横截面极小的一条线上．（4）体电荷密度①△V和△q分别为带电体内r处的体电荷元的体积和电量．②ρ（r）能定量地描述体电荷在带电体内各处的分布情况．③带电体内电荷均匀分布时，，其中q、V分别为带电体的电荷电量和带电体的体积．（5）面电荷密度①△S和△q分别为带电面上r处面电荷元的面积和电量．②σ（r）能描述面电荷在带电面上各处分布的情况．③带电面的电荷均匀分布时，，其中q、S分别为带电面上的电荷电量和带电面面积．（6）线电荷密度①△l和△q为带电线上r处线电荷元的长度和所带电量．②λ（r）可以定量描述带电线上各处电荷分布的情况．③带点线的电荷均匀分布时，其线电荷密度．其中q，l分别为带电线的电荷电量和带电线的长度．（7）两任意带电体间的静电力设一个带电体的位置为r＇，另一带电体（包含点电荷）的位置为r0，则①体、面、线电荷分布带电体对任一点电荷q0作用力a．带电体b．带电面c．带电线②两个带电体、带电面、带点线之间的静电作用力a．带电体b．带电面c．带电线4．MKSA单位制（1）基本量：长度、质量、时间和电流．（2）基本量的单位：米（m）、千克（kg）、秒（s）和安培（A）．（3）导出量的单位：一般由导出量与基本量之间的基本关系式导出来．（4）基本量的量纲：基本量长度（L）、质量（M）、时间（T）和电流（I）．（5）量纲二、电场与电场强度1．电场（1）带电体电荷间的电相互作用模式（2）静电场：是指由携带静止电荷的带电体产生的不随时间变化的电场．2．电场强度（场强）（1）定义特点：场强是一个与试探点电荷q0无关、完全反映r处电场本身性质的物理量．（2）大小：等于单位正电荷在该处所受电场力的大小．（3）方向：与正电荷在该处所受电场力的方向相同．（4）单位：牛顿·库仑-1，符号为N·C-1．或伏特·米-1，符号为V·m-1．（5）匀强电场：是指电场空间各点处E的大小、方向都相同的电场．（6）点电荷电场的电场强度3．场强叠加原理与任意带电体电场的电场强度（1）场强叠加原理若干点电荷产生的电场的电场强度，等于各点电荷单独存在时产生的电场的电场强度的矢量和．（2）任意带电体电场的电场强度①点电荷组的电场强度设有N个点电荷q1，q2，…，qi，…，qN组成一点电荷组，点电荷组中N个点电荷的空间位置分别为r1，r2，…，ri，…，rN，点电荷组产生的电场在r处的电场强度为②线电荷带电体的电场强度设线电荷带电体的线电荷密度为λ，带电线的长度为l，则线电荷元的电量为λdl．整个线电荷在r处产生的电场场强E为③面电荷带电体的电场强度设面电荷带电体的面电荷密度σ，带电面的面积为S，面电荷元的电量为σdS，带电面上的电荷在r处产生的电场场强为④体电荷带电体的电场强度设带电体的体电荷密度ρ（r′），带电体体积为V′，体电荷元所带电量为ρ（r′）dV′，带电体电荷在r处产生的电场场强为三、静电场的高斯定理及其应用1．电场线与电通量（1）电场线在电场中画出一系列曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点电场强度的方向一致．（2）电场线密度①定义：在电场中的任一点处取一与该点电场强度方向相垂直的小面元△S，穿过此面元的电场线数设为△N，则比值称为该点的电场线密度．②大小：电场线密度等于该点的电场强度值．即（3）静电场的电场线的性质：①电场线起始于正电荷，终止于负电荷；或从无穷远来，或到无穷远去．②任何两条电场线不会在没有电荷的地方相交．③静电场的电场线不会形成闭合曲线．④电场线越密的地方，场强越大；越稀疏的地方，场强越小．（4）电通量①定义：面元△S处的电场强度E与该面元矢量△S的标积．即△Φe=E·△S②有限大小的曲面S的电通量Φe面元矢量dS的方向约定为面元dS的法线指向曲面凸侧一方的方向，即所谓外法线方向．③闭合曲面S的电通量积分中的面元矢量dS的方向取外法线方向．④电通量叠加原理设电场由N个带电系统的电荷所产生，在电场E中通过任意曲面S的电通量为2．电场的高斯定理（1）概念：对于真空中的任何静电场，通过电场中任何闭合曲面S的电通量Φe，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和的倍，与闭合曲面外的电荷无关．（2）数学表达式上式表明静电场是一个有源场，电荷是静电场的源．3．高斯定理应用举例四、静电场的环路定理与电势1．点电荷电场的无旋性点电荷电场中任何闭合曲线的环量都等于零．2．静电场的环路定理静电场的电场强度E沿任何闭合回路L的环量都等于零．即特点：静电场是有源无旋场3．电势差与电势（1）静电场力做功的特点静电场力所做的功与路径无关，只决定于受力电荷的起点和终点的位置．即静电场力是保守力．（2）电势能取静电场中任意点P，约定r→∞处电势约定为零，则（3）电势①定义②大小：电场的电势在数值上等于单位正电荷在电场中的电势能．②单位：伏特，符号V．（4）电势差取电场中任意位置r2与r1两点，则4．电势的计算与由电势求场强（1）点电荷电场的电势（2）电势叠加原理点电荷组的电场电势等于各个点电荷单独存在时的电场电势的代数和．（3）点电荷组的电势由q1，q2．…，qN共N个点电荷组成的电荷组，在r处的电势（4）带电体、带电面、带电曲线的电场电势分别表示为（5）等势面①定义：等势面是指电场中电势相等的点所组成的面．②特点：a．等势面密集处电场强，等势面稀疏处电场弱．b．等势面上任一点的场强E与等势面相垂直，即等势面与电场线处处正交．（6）E与U的关系a．△n的方向是取沿等势面法线并指向增加一侧的方向．n0为沿△n方向的单位矢量．b．场强E在△l方向上的分量E1五、电场对带电系统的作用力在1．2节中已经讲过，电场的基本特征是对带电物体有作用力，并称之为电场力．按电场场强E的定义，处于外电场中的点电荷q受外电场的作用力为F=qE（1．5．1）这里的受力点电荷q不再限于是试探电荷，所说的“外”电场是指与受力电荷无关的施力电荷产生的电场，而E是点电荷q处于外电场中受力时施力电荷产生的电场场强．处于外电场中的点电荷组q1，q2，…，qN，若其点电荷的空间位置分别为r1，r2，…，rN，则其受外电场的作用力由（1．5．1）式推广可知为E（ri）为外电场在ri处的场强．[例1．5．1]求一对相距为1的等量异号电荷±q组成的电偶极子在电场E中所受的力F及力矩L如图1．26所示．[解]由（1．5．2）式，由偶极子在外电场E中受力为F=qE（r+）-qE（r-）=q[E（r+）-E（r-）]设电偶极子中点的位置矢径为r，则由图1．26可知，故图1．26在外电场E中的电偶极子设1《r，则由泰勒展开式取头两项可知故F=（ql·▽）E（r）=（p·▽）E（r）（1．5．3）这里，p=ql为电偶极子的电偶极矩．对于均匀电场，显然电偶极子受力F=0．若P与E平行，并设其沿z方向，则电偶极子受力为力F的方向指向电场场强值增大的方向．在摩擦起电后的带电物体电场里，小干草屑或碎纸片被极化后成为沿电场方向的小电偶极子，在非均匀电场作用下将受一指向场强较强的带电物体方向的作用力，这就是经摩擦带电后的物体能吸引轻小物体的道理．电偶极子在外电场E中受的力矩．L为这里取了近似E（r+）=E（r-）=E（r），当l很小时，这种近似带来的误差可以忽略．（1．5．4）式表明，电偶极子在电场中将受一力矩作用，此力矩总使p朝与E一致的方向偏转．由（1．5．2）式可以推广得到外电场对体电荷、面电荷和线电荷的作用力，分别为其中，ρ，σ，λ分别为体电荷密度、面电荷密度和线电荷密度．公式中的E为施力带电体的电场场强，即外电场场强，不应包括受力带电体的电场场强．但在实际问题中，有时会碰到施力带电体和受力带电体的总电场场强E．容易求得，而施力带电体的电场场强E不易求出的情形．当受力带电体是体电荷或面电荷时，可以用Et减去ρdV或σdS电荷元在自身处产生的电场场强△E代替E，代人（1．5．5）式或（1．5．6）式中求受力带电体所受的力．这样做的后果是将受力带电体各部分之间的相互作用内力计人到了总力F中，但因为受力带电体各部分相互作用的内力和等于零，并不影响得出受力带电体所受力的正确结果．对于受力带电体为电荷连续分布的体电荷的情形，pdV在自身处产生的场强大小△E可以这样得到：设想ρdV是一个半径为r0而r0→0的均匀带电小球，其他电荷密度为ρ，这个带电小球在rr0的球内产生场强，由高斯定理很容易得到，△E的最大值为，当r0→0时，△E→0．这样，当受力带电体为体电荷时，用施力带电体和受力带电体的总电场场强Et代替（1．5．5）式中的E求受力带电体所受的电场力F，所得结果也是正确的．[例1．5．2]一带电量为q的均匀带电球，其半径为a，求切割成两半后，两半球之间的电场力．图1．27两均匀带电半球之间的电场力[解]欲求如图l．27所示，左半带电球对右半带电球的电力F，按(1．5．5)式，应求出左半带电球的电荷在右半带电球中的电场场强E，然后代入（1．5．5）式后对右半带电球空间积分，但这个场强E不易求出．而整个带电球在右半球（r，θ，φ）处的场强Et，按高斯定理易求得为，其中为体电荷密度．这样，右半带电球受力F为由于右半带电球的各体电荷元相对z轴分布的对称性，右半带电球的各体电荷元所受电力的垂直z轴分量将在相加中相互抵消，只有沿z轴分量相加得F，故这里，k为z轴正向的单位矢量．对于受力带电体为面电荷的情形，面电荷元σdS在自身处产生的电场场强，n为面元dS的法线方向单位矢量．面电荷元σdS在自身处产生的场强△E之所以取无限大均匀带电平面的场强公式，是由于面元dS的线度虽然很小，但比起无限趋近其自身的距离，还可视为是非常大的缘故．这样，求受力带电体为面电荷的电场力F时，可以用受力带电体和施力带电体的总电场场强Et减去面电荷元σdS在其自身处产生的场强△E，