第1章矢量分析--电磁学.

第1章矢量分析电磁场与电磁波1本章内容1.1矢量代数1.2常用正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流和旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理第1章矢量分析电磁场与电磁波21.标量和矢量矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示：AeAeAAA1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意：单位矢量不一定是常矢量。A矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。第1章矢量分析电磁场与电磁波3zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxy第1章矢量分析电磁场与电磁波4（1）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法BAAB矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律()()ABCABCABBA交换律第1章矢量分析电磁场与电磁波5（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcosABBA——矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0xzzyyxeeeeeeAB矢量与的夹角ABABAB0BA//ABAB第1章矢量分析电磁场与电磁波6（4）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量与的叉积AB用坐标分量表示为写成行列式形式为BAABBA若，则BA//0BA若，则第1章矢量分析电磁场与电磁波7（5）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积第1章矢量分析电磁场与电磁波8三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。第1章矢量分析电磁场与电磁波91、直角坐标系zeyexerzyx位置矢量面元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量zyx,,坐标单位矢量zyxeee,,点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第1章矢量分析电磁场与电磁波102、圆柱面坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,,坐标变量zeee,,坐标单位矢量zeerz位置矢量zeeelzdddd线元矢量zVdddd体积元面元矢量第1章矢量分析电磁场与电磁波11ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元,,r坐标变量eeer,,坐标单位矢量rerr位置矢量dsindddrererelr线元矢量dddsind2rrV体积元面元矢量第1章矢量分析电磁场与电磁波124、坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标与圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标与球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标与球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系oxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系xeyeeezeeree第1章矢量分析电磁场与电磁波131.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：、),,,(tzyxu),,,(tzyxF确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。场↔路从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场、),,(zyxu),,(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：第1章矢量分析电磁场与电磁波141.标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。Czyxu),,(等值面方程：•常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。第1章矢量分析电磁场与电磁波152.方向导数意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。coscoscoslim|00zuyuxulululM概念：l0ul•——u(M)沿方向增加；l0ul•——u(M)沿方向减小；l0ul•——u(M)沿方向无变化。M0lMl方向导数的概念l特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。l式中：coscoscos、、第1章矢量分析电磁场与电磁波16梯度的表达式：zueueueuz1圆柱面坐标系ureurerueursin11球面坐标系zueyuexueuzyx直角面坐标系3、标量场的梯度（或）graduu意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中取得最大值的方向|maxlueunnuel第1章矢量分析电磁场与电磁波17•标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第1章矢量分析电磁场与电磁波18例1.2.1设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)求该函数沿单位矢量el=excos60＋eycos45＋ezcos60方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为(1,1,1)(22)22xyzxyzxyeeeeee22()()xyzPPxyzyxze+e+e第1章矢量分析电磁场与电磁波19表征其方向的单位矢量222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为211(22)()222122lxyzxyzeexeyeeeelxy对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl第1章矢量分析电磁场与电磁波20而该点的梯度值为222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxy显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。PPPl第1章矢量分析电磁场与电磁波211.4矢量场的通量与散度1、矢量线意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。),,(d),,(d),,(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线oMFdrrrdr第1章矢量分析电磁场与电磁波222、矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。dddnSSψψFSFeS通量的概念：ddnSeS其中：——面积元矢量；ne——面积元的法向单位矢量；dSddnψFeS——穿过面积元的通量；如果曲面S是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：ddnSSFSFeS),,(zyxFSdne面积元矢量第1章矢量分析电磁场与电磁波230通过闭合曲面有净的矢量线穿出0有净的矢量线进入0进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义第1章矢量分析电磁场与电磁波243、矢量场的散度0(,,)d(,,)limSVFxyzSFxyzV为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。F第1章矢量分析电磁场与电磁波25柱面坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第1章矢量分析电磁场与电磁波26直角坐标系下散度表达式的推导000000000,,(,,),,22xxxxyzFxxFxyzFxyzx000000000,,(,,),,22xxxxyzFxxFxyzFxyzx000