第1章行列式

1第1章行列式§1.1二阶与三阶行列式一、二阶行列式2112221122211211aaaaaaaa元素、行标、列标、对角线法则、主对角线、副对角线例1计算行列式523123511二、三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa=.332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述例3计算三阶行列式130321112三、余子式与代数余子式在三阶行列式D中,把元素ija所在的第i行和第j列元素去掉后,所构成的二阶行列式称为D中元素ija的余子式,记为ijM,再记ijjiijMA)1(称ijA为元素ija的代数余子式.例4830111752D中32a的余子式和代数余子式§1.2n阶行列式的定义定义由2n个元素),,2,1,(njiaij组成的记号2nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式，简记为nD或det)(ija，它代表某一算式的值，这里数ija称为行列式的元素，其中nnaaa，，，2211所在的对角线称为行列式是主对角线，nnaaa，，，2211称为主对角元，另一条对角线称为副对角线。在n阶行列式D中,去掉元素ija所在的第i行和第j列后,余下的1n阶行列式,称为D中元素ija的余子式,记为ijM,再记ijjiijMA)1(称ijA为元素ija的代数余子式.例设有5阶行列式:1513131200011231452013101D.(1),111a其余子式,151331200112145211M其代数余子式.)1()1(11112111111MMMA(2),134a其余子式113132001520110134M,其代数余子式.)1()1(34347344334MMMA几种常用的特殊行列式：n阶下三角形行列式nnnnaaaaaa21222111000.2211nnaaan阶上三角形行列式3nnnnaaaaaa00022211211.2211nnaaan阶对角线行列式nnaaa0000002211.2211nnaaa§1.3行列式的性质D的转置行列式,记为TD,即若,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111.性质1行列式与它的转置行列式相等,即.TDD例若210101321D,则.213102011DDT性质2行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),,,2,1(2211niAaAaAaDininiiii或).,,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj这个性质叫做行列式按行（列）展开法则例行列式214121312按第一列展开，则有2132113131212(1)4121222412.272856)61(4)32()14(2通常用ir表示行列式的第i行，ic表示行列式的第i列。4性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即.2121112112121112111kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin第i行(列)乘以k,记为ik(或ikC).推论1行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.推论2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.例12101320141240112204例设,1333231232221131211aaaaaaaaa求.53531026333231232221131211aaaaaaaaa解利用行列式性质，有33323123222113121153531026aaaaaaaaa3332312322211312115353532aaaaaaaaa5)3(2333231232221131211aaaaaaaaa性质4若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零例0337224112（第二、三列相等）推论3行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.5例07541410053820141因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211.则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin.例.110111311103111132一般来说下式是不成立的:22211211222112112222212112121111bbbbaaaababababa性质6把行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.以数k乘第j行加到第i行上,记作jikrr;以数k乘第j列加到第i列上，记作jikcc.例（1）13201013113214113112rr,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.6（2）33204103113214113113cc,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.性质7交换行列式的两行(列),行列式变号.第i行（列）与第j行（列）交换，记为jirr（jicc）例2012121110012110121（第一、二行互换）性质8行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,,02211jiAaAaAajninjiji或.,02211jiAaAaAanjnijiji§1.4行列式的计算利用行列式的性质，可以把行列式化为三角形行列式来计算.常化为上三角形行列式，称为化三角形法。也可以利用性质6把行列式的某一行（列）仅含有一个非零元素，再利用性质2展开，这种方法称为降阶法。例7计算2164729-541-73-2152D例8计算.0000aaaabbbaaabaD有时也用到递推法：7例12证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,)(1111112112222121jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.§1.5克莱姆法则含有n个未知数nxxx,,,21的线性方程组)1(,,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa称为n元线性方程组当其右端的常数项nbbb,,,21不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组，当nbbb,,,21全为零时,线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即)2(.0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa线性方程组(1)的系数ija构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211.定理1（克莱姆法则）若线性方程组(1)的系数行列式0D,则线性方程组(1)有唯一解,其解为),,2,1(njDDxjj(3)8其中),,2,1(njDj是把D中第j列元素njjjaaa,,,21对应地换成常数项,,,,21nbbb而其余各列保持不变所得到的行列式.例用克莱姆法则解方程组113269yxyx例16用克莱姆法则解方程组11256427812516941543214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx定理2如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0D例2问为何值时,齐次方程组0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx有非零解?解D111132421101112431)3)(1(2)1(4)3()1(33)1(2)1(23),3)(2(齐次线性方程组有非零解，则,0D所以,02或3时齐次线性方程组有非零解.