第1部分-高考第4题基本初等函数.

2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页试真题攻考点重落实2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[真题回放]考查角度1对数函数的性质1．(2013·全国卷Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[解析]利用对数函数的性质求解．a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，由对数函数的性质可知log52＜log32，∴b＜a＜c，故选D．[答案]D2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ex－1，x1，x13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．[解析]结合题意分段求解，再取并集．当x1时，x－10，ex－1e0＝1≤2，∴当x1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x13≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．[答案](－∞，8]2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2(x＋1)，x＞1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－14[解析]分类讨论处理条件f(a)＝－3，解得a，然后代入函数解析式计算f(6－a)．由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x0，所以2a－1＝－1无解；2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页②若a1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f(6－a)＝－74.故选A．[答案]A2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页通过近三年高考题，可以得到以下规律：1．通过对数的大小比较考查对数函数的性质．2．重点考查分段函数，同时考查了指数、对数的运算．2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[知识必备]1．必记公式指数与对数式的七个运算公式：(其中a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0)(1)am·an＝____.(2)(am)n＝___.(3)loga(MN)＝____________.am＋namnlogaM＋logaN2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页(4)logaMN＝____________.(5)logaMn＝_______.(6)alogaN＝__.(7)logaN＝____.logaM－logaNnlogaMNlogbNlogba2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页2．重要性质(1)函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的____，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的______．(2)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．横坐标零点f(a)·f(b)02016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页命题热点1基本初等函数【例1】(1)(2015·陕西高考)设f(x)＝lnx,0ab，若p＝f(ab)，q＝fa＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝rpB．p＝rqC．p＝rqD．p＝rq2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页(2)(2015·湖南高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数(3)(2015·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[尝试解答](1)p＝lnab，q＝lna＋b2，r＝12(lna＋lnb)＝lnab，故p＝r，又0ab，则a＋b2ab，从而qp＝r.(2)函数有意义，则1＋x0，1－x0，∴－1x1，由f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)知，函数f(x)是奇函数，又在(0,1)上，y＝ln(1＋x)是增函数，y＝ln(1－x)是减函数，从而函数f(x)在(0,1)上是增函数，故选A．2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页(3)若a1，由题意知a－1＋b＝－1，1＋b＝0，此方程组无解．若0a1，由题意知a－1＋b＝0，1＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，则a＋b＝－32.[答案](1)C(2)A(3)－322016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页解题要诀1．指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．2．比较幂值、指数式值、对数式值大小一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较．2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页命题热点2函数的零点【例2】(文)(1)(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sinxsinx＋π2－x2的零点个数为______．(2)(2015·北京高考)设函数f(x)＝2x－a，x1，4(x－a)(x－2a)，x≥1.①若a＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[尝试解答](文)(1)先化简f(x)，把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解．f(x)＝2sinxsinx＋π2－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，由f(x)＝0，得sin2x＝x2.设y1＝sin2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页(2)①代入a＝1后直接求解分段函数的最值即可；②需结合分类讨论思想求解．①当a＝1时，f(x)＝2x－1，x1，4(x－1)(x－2)，x≥1.当x1时，f(x)＝2x－1∈(－1,1)，当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4x－322－14≥－1，∴f(x)min＝－1.2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页②由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)＝2x－a，x1没有零点时，a≥2或a≤0.当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点．因此a≥2满足题意．当f(x)＝2x－a，x1有一个零点时，0a2.f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1有一个零点，此时a1,2a≥1，因此12≤a1.综上知实数a的取值范围是a|12≤a1或a≥2.[答案](1)2(2)①－1②12，1∪[2，＋∞)2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页解题要诀1．函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决此类问题一个有效方法．2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[跟踪训练](2015·济南三模)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()A．g(a)0f(b)B．f(b)0g(a)C．0g(a)f(b)D．f(b)g(a)02016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[解析]∵函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，∴f(x)与g(x)在各自的定义域上为增函数，∵f(1)＝e－20，g(1)＝0＋2－50，∴若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则有a1，b1，∴g(a)g(1)0，f(b)f(1)0，故选A．[答案]A2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页命题热点3函数的实际应用【例3】(1)(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页(2)(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[审题指导](1)通过已知条件建立方程求解．(2)解答本题的关键是求出用油量和实际走的路程．[尝试解答](1)由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝4819212＝1412＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24.2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页(2)理解题意并将其转化为数学问题求解．因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．[答案](1)C(2)B2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页解题要诀解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页[跟踪训练](2015·汕头二模)某企业为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为12.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费c(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是c(x)＝120x＋5(x0)．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和是F(x)(万元)，则F(40)等于()2016版·二轮复习题型突破上一页返回首页下一页A．80B．60C．42D．40[解析]由题意知F(x)＝12x＋120×15x＋5，则F(40)＝12×40＋1