第2有限元分析的力学基础

第二章有限元分析的力学基础主要内容2.1弹性力学同有限元分析的关系2.2弹性体的基本假设2.3弹性力学的基本变量2.4平面问题的基本力学方程2.5空间问题的基本力学方程2.6弹性问题中的能量表达2.7几种特殊问题的讨论2.8变形体的构形、刚体位移及体积应变要点变形体的三大类基本变量变形体的三大类基本方程及两类边界条件弹性问题中的能量表示平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达应力及应变的分解2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学（Elasticity）：弹性力学也称弹性理论，是固体力学的重要分支。主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。弹性，几乎是所有固体的一种固有的物理属性，而完全弹性，则是指在引起其变形的外界因素消失以后能完全恢复原状的物体，简称为弹性体。弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。应力/Sigma/应变/Epsilon/位移U2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同材料力学的比较1、弹性力学的任务是要解决构件的强度、刚度和稳定问题，而材料力学还涉及到疲劳、蠕变、塑性变形以及构建破坏规律等问题2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同材料力学的比较3、研究的方法：弹性力学根据六条基本假设，从问题的静力学、几何学和物理学三方面出发，经过严密的数学推导，得到弹性力学的基本方程和各类边界条件，从而把问题归结为线性偏微分方程组的边界问题。材料力学在研究杆状构建的拉伸、压缩、扭转和弯曲问题时，也要用到弹性力学的六条基本假设。同时也要从问题的静力学、几何学和物理学三方面出发，但为了简化计算，大都还对构建的应力分布和变形状态作出某些附加的假设2.1弹性力学同有限元分析的关系从几何形状复杂程度来考虑可以分为：1）简单形状变形体—材料力学2）任意形状变形体—弹性力学任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。2.2弹性力学中关于材料性质的假定连续性假设：将可变形的固体看作是连续密实的物体，即组成物体的质点之间不存在任何空隙。通过该假设，可以认为应力、应变和位移是连续的，它们可以表示成坐标的连续函数，因而在作数学推导时可以用到连续和极限的概念。完全弹性假设：又称物理线性假设。亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。应力和应变呈线性关系，各个弹性常数不随应力或应变的大小而改变。各向同性假设：假设物体在不同的方向上具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数不随坐标方向的改变而改变。均匀性假设：假设所研究的物体使用同一类型的均匀材料组成的，因此各部分的物理性质（如弹性）都是相同的，并不会随着坐标位置的改变而发生变化。根据这个假设，我们在处理问题时可以去除物体内部任一部分进行分析，然后将分析的结果用于整个物体。2.2弹性力学中关于材料性质的假定小变形假设：又称几何线性的假设。假设物体在力和温度变化等外界因素作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。这样，在研究物体平衡时，可不考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可略去应变、转角的二次幂或是二次乘积以上的项。无初始应力假设：假设物体处于自然状态，即在力和温度变化等外界因素作用之前，物体内部是设有应力的。根据该假设，由弹性力学求得的应力仅仅是由外力或温度变化所引起的。2.2弹性力学中关于材料性质的假定2.3弹性力学基本变量基本变量2.3弹性力学基本变量外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。可以分为体积力（体力）和表面力（面力）1、面力：是分布于物体表面的力，如静水压力、风力、一物体与另一物体之间的接触压力等。（单位：N/m2）2、体力：是分布于物体体积内所有质点上的力，如重力、磁力、惯性力等。（单位：N/m3）均为矢量。弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）设作用于上的内力为,则内力的平均集度,即平均应力,为2.3弹性力学基本变量内力：一个在外界因素（外力、温度变化）作用下的物体，其内部各部分之间要产生相互的作用。这种物体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力。F/FSS0limvSFfS这个极限矢量fv，就是物体在截面mn上、M点的应力。应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力2.3弹性力学基本变量正应力σ（/sigma/）剪应力τ（/tau/）zyxyzzxyxzyxzxy每一个面上的应力分解为一个正应力和两个切应力正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。2.3弹性力学基本变量一点的应力状态凡提到应力应该指出它是对物体内那一点并过该点哪一个微分平面来说的。我们把物体内部同一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。为了表示一点的应力状态，过物体内部某一点M分别作3个彼此垂直的微分面2.3弹性力学基本变量一点的应力状态通过对M点的3个微分面上的应力矢量分解以后，总共得到9个分量，它们作为一个整体称为应力张量，而其中每一个量称为应力分量.假设它们是坐标x，y，z的连续函数，而且具有连续到二阶的偏导数，则有：()xxyxzijyxyyzzxzyz结论：只要知道了一点的9个应力分量，就可以求出通过该点的各个微分面上的应力，也就是说9个应力分量将完全确定一点的应力状态2.3弹性力学基本变量正面（外法线是沿着坐标轴的正方向）负面（外法线是沿着坐标轴的负方向）正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负正应力以拉应力为正，压应力为负2.3弹性力学基本变量剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。yxxyxzzxzyyz,zzyzxyzyyxxzxyx不同的坐标表示zzyzxzyyxyzxyxxzzyzxyzyyxxzxyxij应力张量一点的应力状态应变——形状的改变（形变）——长度的改变和角度的改变应变和位移为了分析物体在其某一点P的形变状态,在这一点沿着坐标轴x,y,z的正方向取三个微小的线段PA,PB,PC。2.3弹性力学基本变量正应变——各线段的每单位长度的伸缩,即单位伸缩或相对伸缩。以伸长为正、缩短为负剪应变——各线段之间的直角的改变,用弧度表示。以直角减小为正、增大为负。zyxzxyzxy2.3弹性力学基本变量现在考虑任意一个微分平行六面体，设其中变形前的三条棱边分别为MA，MB，MC，变形后变为M’A’，M’B’，M’C’，那么可以得到正应变和剪应变分别为：这6个分量中的每一个都称为应变分量。2.3弹性力学基本变量位移——就是位置的移动。物体内任意一点的位移,用它在x,y,z三轴上的投影，，来表示以正标向为正。uvw一般而论,弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的位置而变的,因而都是位置坐标的函数。(,,)(,,)(,,)uuxyzvvxyzwwxyz2.3弹性力学基本变量建立应变分量和位移分量之间的关系由于我们考虑的是小变形，在不包括纯属物体位置变化（即刚体运动）的那个部分，也就是说，物体内各点的位移全部由自己的大小和形状的变化引起的，则物体内各自的转角是极其微小的。因此在讨论一个问题时，可以利用物体在各个平面上的投影来代替它们的实际长度，这样就可以使问题简化。2.3弹性力学基本变量利用ma，mb表示MA，MB在Oxy平面上的投影。用u（x，y，z），v（x，y，z）表示M点的位移矢量分别在Ox和Oy轴上的分量，则A点和B点的相应位移分别为：2.3弹性力学基本变量),,(),,,(),,(),,,(zdyyxvzdyyxuzydxxvzydxxu2.3弹性力学基本变量按照多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，则A点和B点的位移矢量在Ox和Oy轴上的分量可以表示为：dyyvvdyyuudxxvvdxxuu,,m’a’在Ox轴上的投影m’a’’为：dxxudxudxxuudxam'''2.3弹性力学基本变量这样我们就能得到沿Ox轴的应变分量为：xudxdxdxxudxdxdxamx'''同理：zwyvzy,这样我们就得到了物体内任一点M分别与3个坐标轴平行的微分线段的伸长率——正应变当正应变分量大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。剪应变分量：2.3弹性力学基本变量yxxyxyamb'''22.3弹性力学基本变量xuxvdxxudxvdxxvvamaayxyx1tan''''''因为小变形下与1相比是一小量，可以忽略，于是有：xu/,yxxyvuxy这样就得到剪应变分量：，同理可以得到余下的两个剪应变分量：yuxvxyzvywxwzuyzxz,这样就得到6个关系式：2.3弹性力学基本变量strain-displacementrelations.（几何方程又称柯西方程）将上式的右侧一列的3个式子两边同除以2，并令xyxyxzxzyzyz21,21,21)(21,,,ijjijiuu位移与应变的关系应变位移刚体位移位移刚体转动oiiijjijjuudxwdx2.3弹性力学基本变量zxyzxyzyxzxyzxyzyx应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量来表示。它的矩阵形式是：称作位移列阵或位移向量。U,,应力和应变的关系广义胡可定律应力和应变关系的一般表达式：2.3弹性力学基本变量这里的函数f取决于材料本身的物理特性，这里我们不去研究如何确立最一般情况下的应力与应变关系，仅仅考虑弹性体小变形的情况其中E为弹性模量，G为剪切模量，为Poission比。xyxyyxzzxzxzzxyyyzyzzyxxEEEEEE)1(2)],([1)1(2)],([1)1(2)],([1广义胡克定律可以写成以下形式：2.3弹性力学基本变量2.3弹性力学基本变量E称为弹性模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。)1(2EG基本方程受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变和应力这三大类变量，