第2章-24正态分布

2．4正态分布●三维目标1.知识与技能了解正态曲线的基本特点，理解正态曲线所表示的意义．2．过程与方法通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布，通过计算机的展示，了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点及正态分布的3σ原则．从生活实践入手结合图象认识参数μ，σ的几何意义．3．情感、态度与价值观善于从复杂多变的现象中发现问题的本质，提高学生的识别能力以及用数学知识分析现实问题的能力．●重点、难点重点：正态分布曲线的特点及所表示的意义．难点：利用正态分布解决实际问题．引导学生观察高尔顿板，不断分析、总结得出正态分布，借助图象，进一步认识正态曲线的特点，通过例题与练习，让学生掌握正态分布的应用，从而化解难点，突出重点．课标解读1.了解正态分布的意义．2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．3．了解正态曲线的意义和性质．4．会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率.正态分布【问题导思】函数f(x)＝12πσe－x－μ22σ2的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．【提示】由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为1102π，由函数式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，∴μ＝72，且12πσ＝1102π，∴σ＝10.∴f(x)＝1102πe－x－722200(x∈R)．1．正态曲线(1)正态曲线的概念若φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称．12πσe－x－μ22σ2正态曲线(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴，与x轴；②曲线是单峰的，它关于对称；③曲线在处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为；上方不相交直线x＝μx＝μ12πσ1⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“”，表示总体的分布越；σ越大，曲线越“”，表示总体的分布越．x轴瘦高集中矮胖分散2．正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量X服从正态分布，则记为．abφμ，σ(x)dxμσN(μ，σ2)X～NN(μ，σ2)3．3σ原则(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a0，P(μ－aX≤μ＋a)＝.(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率．P(μ－σX≤μ＋σ)＝；P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝；P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝.μ－aμ＋aφμ，σ(x)dx0.68260.95440.9974正态曲线的图象的应用如图2－4－1所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．图2－4－1【思路探究】给出一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式．【自主解答】从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，∴σ＝2.于是φμ，σ(x)＝12π·e－x－2024，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.1．本题直接根据正态分布曲线的性质解决μ，σ.2．正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：(1)对称轴方程x＝μ；(2)最值1σ2π.这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，则下列说法中正确的是()图2－4－2A．乙科总体的标准差及均值都居中B．甲、乙、丙各自总体的均值不相同C．丙科总体的均值最小D．甲科总体的标准差最小【解析】本题主要根据正态曲线的特征来进行判断，由图可知，三条正态曲线的对称轴相同，即μ相同，当σ越小时，曲线越“瘦高”；当σ越大时，曲线越“矮胖”，故正确答案为D.【答案】D正态分布下的概率计算在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．【思路探究】解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．【自主解答】由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.6826.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)＝0.3413.利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(Xa)＝1－P(X≥a)；②P(Xμ－a)＝P(Xμ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544，0.9974求解．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解析】∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ0)＝0.2，∴P(0ξ4)＝0.6.∴P(0ξ2)＝0.3.故选C.【答案】C(2)设X～N(6,1)，求P(4X≤5)．【解】由已知得μ＝6，σ＝－1.∵P(5X≤7)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.P(4X≤8)＝P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544.如图，由正态分布的对称性知P(4x≤5)＝P(7x≤8)，∴P(4x≤5)＝12[P(4x≤8)－P(5x≤7)]＝12×0.2718＝0.1359.正态分布的应用设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【思路探究】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解决P(X≥130)．【自主解答】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，∴P(X－μ≤－σ)＝0.1587，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.1587＝0.841.3.∴54×0.8413≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.6826＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.1587，即P(X≥130)＝0.1587.∴54×0.1587＝9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．(2012·课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图2－4－3所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．图2－4－3【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(AB＋AB＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P＝(12×12＋12×12＋12×12)×12＝38.【答案】38根据正态分布检验一类事件发生与否(12分)某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为μ＝500g，σ2＝1，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【思路探究】由于产品质量服从正态分布N(μ，σ2)，随机变量在μ附近取值的概率较大，在离μ很远处取值的概率很小，因此可考虑根据3σ原则作出判断．【规范解答】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布N(μ，σ2)，(2分)根据3σ原则可知，产品质量在μ－3σ＝500－3＝497(g)和μ＋3σ＝500＋3＝503(g)之间的概率为0.9974，5分而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件.8分但是检验员随机抽取的产品为504g，这说明设备的运行极可能不正确，因此检验员的决定是有道理的．(12分)若随机变量服从正态分布N(μ，σ2)，由此做假设检验时，按如下步骤进行：(1)确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋3σ)；(2)作出判断，如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，则接受统计假设，如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ)，则拒绝统计假设．1在正态分布N(μ，σ2)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数．参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数，即σ＞0.2．因为P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检验基本思想．1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是()A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故C错误．【答案】C2．设随机变量X的正态密度函数φμ，σ(x)＝12πe－x＋324，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是()A．μ＝3，σ＝2B．μ＝－3，σ＝2C．μ＝3，σ＝2D．μ＝－3，σ＝2【解析】把正态曲线化成标准形式为φμ，σ(x)＝12π2e－[x－－3]2222，显然μ＝－3，σ＝2.【答案】D3．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是()A．68.26%B．95.44%C．99.74%D．31.74%【解】∵X～N(90,100)．∴μ＝90，σ＝10.∴P(70X110)＝P(90－20X≤90＋20)＝0.9544.【答案】B4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，求ξ在(0,2)内取值的概率．【解】如图所示，易得P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)，故P(0＜ξ＜2)＝2P(0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.课后知能检测(十五)点击图标进入…在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？【思路探究】正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．【自主解答】∵ξ～N(9