第2章-插值法

1第2章插值法第1节引言第2节拉格朗日插值第3节均差与牛顿插值多项式第4节埃尔米特插值第5节分段低次插值第6节三次样条插值22.1引言),,,1,0()(niyxPii（1.1）设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使)(xfy],[babxxxan10nyyy,,,10)(xP成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法.)(xP)(xfnxxx,,,10],[ba)(xP2.1.1插值问题的提出3nnxaxaaxP10)(（1.2）若是次数不超过的代数多项式，)(xPn其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值.ia)(xP本章只讨论多项式插值与分段插值.若为分段的多项式，就称为分段插值.)(xP若为三角多项式，就称为三角插值.)(xP即4从几何上看，插值法就是确定曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线.)(xPy1nniyxii,,1,0),,()(xfy图2-1见图2-1.5由此可以得到关于系数的元线性方程组上的函数值,求次数不超过的多项式，使2.1.2多项式插值),,,1,0()(niyxPii（1.3）设在区间上给定个点),,1,0)((nixfyii],[babxxxan10naaa,,,101n1nn)(xP6,,,101111000010nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa（1.4）此方程组的系数矩阵为,1111100nnnnnxxxxxxA称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由于互异，故),,1,0(nixi（1.5）7因此线性方程组（1.4）的解存在且唯一..0)(det1,njiojijixxAnaaa,,,10定理1满足条件（1.3）的插值多项式是存在唯一的.)(xP82.2.1线性插值与抛物插值对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论的简单情形.1n问题：给定区间及端点函数值，],[1kkxx)(),(11kkkkxfyxfy要求线性插值多项式，)(1xL.)(,)(1111kkkkyxLyxL2.2拉格朗日插值使它满足nnxaxaaxP10)(（1.2）9其几何意义就是通过两点的直线.),(),,(11kkkkyxyx图2-2如图2-2.10由的几何意义可得到表达式)(1xL)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（点斜式），11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（两点式），（2.1）由两点式看出，是由两个线性函数)(1xL,)(11kkkkxxxxxl,)(11kkkkxxxxxl（2.2）的线性组合得到，其系数分别为及，即ky1ky)()()(111xlyxlyxLkkkk（2.3）11称及为线性插值基函数，)(xlk)(1xlk,1)(kkxl;0)(1kkxl,0)(1kkxl,1)(11kkxl显然，及也是线性插值多项式，在节点及)(xlk)(1xlkkx1kx上满足条件图形见图2-3.12图2-313下面讨论的情形.2n假定插值节点为，，，要求二次插值多项式1kxkx1kx),(2xL)1,,1()(2kkkjyxLjj几何上是通过三点的抛物线.)(2xL),(),,(),,(1111kkkkkkyxyxyx可以用基函数的方法求的表达式，此时基函数是二次函数，且在节点上满足条件)(2xL);1,(,0)(,1)(111kkjxlxljkkk);1,1(,0)(,1)(kkjxlxljkkk（2.4）).,1(,0)(,1)(111kkjxlxljkkk使它满足),(1xlk),(xlk)(1xlk14接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求为例，)(1xlk由插值条件，它应有两个零点及，kx1kx),)(()(11kkkxxxxAxl可由插值条件定出1)(11kkxl其中为待定系数，A))((1111kkkkxxxxA于是.))(())(()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl可表示为);1,(,0)(,1)(111kkjxlxljkkk);1,1(,0)(,1)(kkjxlxljkkk（2.4）).,1(,0)(,1)(111kkjxlxljkkk);1,(,0)(,1)(111kkjxlxljkkk15同理.))(())(()(1111kkkkkkkxxxxxxxxxl.))(())(()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl二次插值基函数，，在区间上的图形见图2-4.)(1xlk)(xlk)(1xlk],[11kkxx16图2-417利用，，，)(1xlk)(xlk)(1xlk)()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk（2.5）显然，将,，代入(2.5),)(1xlk)(xlk)(1xlk))(())(()(111112kkkkkkkxxxxxxxxyxL))(())((1111kkkkkkkxxxxxxxxy.))(())((11111kkkkkkkxxxxxxxxy立即得到二次插值多项式).1,,1(,)(2kkkjyxLjj它满足条件得182.2.2拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.1nnxxx10n)(xLn).,,1,0()(njyxLjjn（2.6）根据插值的定义应满足)(xLn先定义次插值基函数.n为构造，)(xLn19定义1若次多项式在个节点上满足条件),,1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj（2.7）就称这个次多项式为节点1nn)(,),(),(10xlxlxln上的次插值基函数.nxxx,,,10nn),,1,0()(njxlj1nnxxx1020显然它满足条件（2.7）.于是，满足条件（2.6）的插值多项式可表示为)(xLn.)()(0nkkknxlyxL（2.9）)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl).,,1,0(nk（2.8）与前面的推导类似，次插值基函数为n),,1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj（2.7）).,,1,0()(njyxLjjn（2.6）21由的定义，知)(xlk).,,1,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn形如（2.9）的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，)(xLn而(2.3)与(2.5)是和的特殊情形.1n2n容易求得),())(()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx),())(()(101nnxxxxxxx（2.10）若引入记号.)()(0nkkknxlyxL（2.9）)()()(111xlyxlyxLkkkk（2.3）)()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk（2.5）22于是公式（2.9）可改写成.)()()()(011nkknknknxxxxyxL（2.11）注意:次插值多项式通常是次数为的多项式，n)(xLnn特殊情况下次数可能小于.n.)()(0nkkknxlyxL（2.9）例如通过三点的二次插值多项式，如果三点共线，则就是一条直线，而不是抛物线，这时是一次多项式.),(),,(),,(221100yxyxyx)(2xL)(2xLy)(2xL23定理2设在上连续，在内存在，节点是满足条件(2.6)的插值多项式，则对任何，插值余项2.2.3插值余项与误差估计)()(xfn],[ba)()1(xfn),(ba)(,10xLbxxxann],[bax这里且依赖于，是（2.10）所定义的.),(bax)(1xn若在上用近似，],[ba)(xLn)(xf),()()(xLxfxRnn则其截断误差为也称为插值多项式的余项.),())(()(101nnxxxxxxx（2.10）)()!1()()()()(11(xnfxLxfxRnnnn（2.14）).,,1,0()(njyxLjjn（2.6）24证明由给定条件知在节点上为零，即，于是)(xRn),,1,0(nkxk),,1,0(0)(nkxRkn其中是与有关的待定函数.)(xKx)()()())()(()(110xxKxxxxxxxKxRnnn（2.13）现把看成上的一个固定点，作函数x],[ba),())()(()()()(10nnxtxtxtxKtLtft根据的假设可知在上连续，在内存在.f)()(tn],[ba)()1(tn),(ba25根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有个零点.)(t)(t)(t],[ba1n对再应用罗尔定理，可知在内至少有个零点.)(t)(t],[ban依此类推，在内至少有一个零点，记为，使)()1(tn),(ba),(ba,0)()!1()()()1()1(xKnfnn根据插值条件及余项定义，可知在点及)(tnxxx,,,10处均为零，故在上有个零点，)(t],[ba2nx26于是将它代入（2.13），余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.)(xf但在内的具体位置通常不可能给出，),(ba如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是,)(max1)1(nnbxaMxf)(xLn)(xf.)()!1()(11xnMxRnnn（2.14）),,(,)!1()()()1(banfxKnx且依赖于)()()())()(()(110xxKxxxxxxxKxRnnn（2.13）就得到余项表达式（2.12）.27当时，线性插值余项为1n),)()((21)()(21)(1021xxxxfxfxR],[10xx（2.15）当时，抛物插值余项为2n),)()()((61)(2102xxxxxxfxR],[20xx（2.16）28利用余项表达式（2.12），当时，由于,于是有)()(nkxxfk0)()1(xfn,0)()(0xlxxxRniikikn由此得.,,1,0,)(0nkxxlxkniiki（2.17）特别当时，有0k.1)(0xlnii（2.18）29利用余项表达式（2.12）还可知，若被插函数由于，故，即它的插值多项式nHxf)(0)()1(xfn0)()()(xLxfxRnn).()(xfxLn30例1证明，其中是关于点的插值基函数.0)()(502xlxxiii)(xli510,,,xxx证明利用公式（2.17）可得.02)()(2)()()2()()(222502505025022502xxxxlxxlxxxlxxlxxxxxlxxiiiiiiiiiiiiiii31,314567.0,32.000yx.352274.0,36.022