第2章23二维拉普拉斯方程的边值问题

1补充知识点：欧拉(Euler)方程的一般形式).('1)1(11)(xfyPxyPyxPyxnnnnnn1nPP)(xf,022RnrRRrrrr求.)(nnnnnrDrCrR原方程通解为terrtlnrtln)()(2111rRrrRRtttrr02RnRRRtttt02RnRtt.ntnntnneDeCR其中是常数，是已知函数。满足如下欧拉(Euler)方程的函数)(rR),2,1(n解作变换则有,1rRRtr代入原方程有再将代入还原得),2,1(n问题1：,tttRrRr2211202'''rRRr,ln)(00DrCrR00,DC其中是任意常数。求rCrR)('原方程通解为)('rPRrCrP)()('''rPR02)()('rrPrPrdrrdPP11CrPlnln满足如下可降阶的二阶微分方程的函数)(rR解设因此有代入原方程有问题2：32.3二维拉普拉斯方程的边值问题),0(axx),0(byy)(xf一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题，也可以应用分离变量法来求解。).(xg),(yxu),(yx),(yxu考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。设薄板上下两面绝热，板的两边始终保持0度，另外两边的温度分别为和求板内稳恒状态下的温度分布规律。我们用来表示板上点处的温度，即4y.0),(,0),0(),(),(),()0,(),0,0(0yauyuxgbxuxfxubaxuuyyxx(31)(30)(32)解下列定解问题：),()(),(yYxXyxu)()('')()(''yYyYxXxX应用分离变量法，设(33)将(33)代入方程(30),分离变量得其中是常数。因此我们得到两个常微分方程5,0)()(''xXxX,0)()(''yYyY,0)()0(aXX(35)(34),0)()(''xXxX,0)()0(aXX0),(,0),0(yauyu由齐次边界条件(32)下面求解常微分方程边值问题(36)的非0解。0(1)当时，问题(36)没有非平凡解。0(2)当时，问题(36)也没有非平凡解。)()('')()(''yYyYxXxX6,)(2ann).,2,1(sin)(naxnBxXnn),,2,1()(neDeCyYyannyann0(3)当时，问题(36)有非平凡解。此时n,0)()(''yYyY对应的接着考虑方程(35)将代入方程(35)可得,0)()()(''2yYanyY).,2,1(n其通解为7),(),(),()0,(xgbxuxfxu),,2,1(sin(),()nxanebeayxuyannyannn)1sin(),(nyannyannxanebeayxu这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界条件(32)的一系列特解由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此仍然满足方程(30)和齐次边界条件(32).再应用非齐次边界条件(31)(37)8),(sin)(1xfxanbannn),(sin)(1xgxanebeanbannbann,sin)(20annxdxanxfaba,sin)(20abannbannxdxanxgaebea).,2,1(n,,nnba则有关系式利用傅里叶系数公式得由上式解出代回(37)式即得问题(30)-(32)的解。9y.0),(,0),0(),(),(),()0,(),0,0(0yauyuxgbxuxfxubaxuuyyxx(31)(30)(32))1sin(),(nyannyannxanebeayxu(37),sin)(20annxdxanxfaba,sin)(20abannbannxdxanxgaebea).,2,1(n即定解问题的解为其中10练习:(1)解方程,yxyxz22yyzxxzcos),(,),(10222112361CyfxCdxxfyxyxz)()(),(112221Cxfyxxz)(1C(2)求满足的特解积分得解对原方程两边同时关于变量为任意常数。其中,ydyxdyyxz222C为任意常数。其中y积分得对上方程两边同时关于变量x11211xxCdxxf)(利用条件20xxz),(比较等号两边系数有得0022Cf)(222110xCfxCdxxf)()(练习:(1)解方程,yxyxz22yyzxxzcos),(,),(102(2)求满足的特解解22112361CyfxCdxxfyxyxz)()(),(12211xxCdxxf)(带入通解表达式得比较等号两边系数有0022Cf)(练习:(1)解方程,yxyxz22yyzxxzcos),(,),(102(2)求满足的特解解22112361CyfxCdxxfyxyxz)()(),(2222361Cyfxyxyxz)(),(13练习:(1)解方程,yxyxz22yyzxxzcos),(,),(102(2)求满足的特解解2222361Cyfxyxyxz)(),(利用条件yyzcos),(1比较等号两边系数有得yCyfycos)(222161yyfycos)(2261012C.cos)(2261yyyf,12C14练习:(1)解方程,yxyxz22yyzxxzcos),(,),(102(2)求满足的特解解2222361Cyfxyxyxz)(),(比较等号两边系数有yyfycos)(2261012C.cos)(2261yyyf,12Cyyzxxzcos),(,),(102则满足的特解为161612223yyxyxyxzcos),(15二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题考察一半径为0r)(f),20().2()0(ff),(ru),(r的圆形模板稳恒状态下的温度分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的温度已知为且试求稳恒状态下的温度分布规律。由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯，并且区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程采用极坐标形式更方便。我们用来表示圆形薄板内点处的温度则所述问题可以表示成下列定解问题：160112urururrr),0(0rr).(|0furr0yyxxuu0112urururrr,cosrx,sinry,22yxr.arctanxyurxy(39)(40)练习：验证拉普拉斯方程在极坐标系下的形式为提示：作极坐标变换xxrxuruuyyryuruuyyyyyryyryyryrryyuururururuu)()(xxxxxrxxrxxrxrrxxuururururuu)()(170112urururrr),0(0rr).(|0furr(39)(40)),()(),(rRru0''1'1''2RrRrR'''''2RrRRr设方程(39)的解为代入方程(39)得分离变量则有其中比值为常数。18,0'''2RrRRr.0''),(ru2),()2,(ruru).()2(|),0(|u.|)0(|R由此可得两个常微分方程由于温度函数是单值的，所以当从变到时，成立，从而有同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度应该是有界的，因而成立，由此知)(rR应满足条件19这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题,0'''2RrRRr.0'').()2(.|)0(|R0,)(BeAeBA,(42)(41)1.当时，方程的通解为其中是任意常数。由于这样的函数不满足周期性条件，因此不能取负值。我们先从问题(41)入手，对分三种情形讨论：200,)(000BA00,BA00A00.)(00B其中是任意常数。只有当时，函数才满足周期性条件。因此，当时，问题(41)的解为2.当时，方程的通解为.0'').()2((41)0,0'''2RrRRr,ln)(000DrCrR00,DC其中是任意常数。00C只有当0R0因此，当时，问题(42)的解为.|)0(|R再将代入问题(42)中的方程其通解为时，函数才满足有界性条件。.)(00DrR.21),(0000aDBru从而得原方程(39)的一个非0解21,sincos)(BA),()2(2nBA,其中是任意常数。),,2,1(n.sincos)(nBnAnnn2n,0'''22RnrRRr.)(nnnnnrDrCrR,|)0(|R0nD),,2,1(n03.当时，方程的通解为由于此时问题(41)中的方程的解可表示成,0'''2RrRRr再将代入问题(42)中的方程得欧拉(Euler)方程其通解为.0'').()2((41)为了保证只有取所以.)(nnnrCrR),,2,1(n222n),,2,1(nnnnnrnbnaru)sincos(),(),,2,1(nnnnnnnCBbCAa,.)sincos(21),(10nnnnrnbnaaru,,nnba,)()sincos(21),(1000nnnnfrnbnaaru那么，当时，我们得到方程(39)的一系列特解其中是任意常数。由于方程(39)是线性齐次的，利用叠加原理，可得到该方程满足单值性和有界性的级数解为(43)为了确定系数由边界条件(40)即).(|0furr得),20(23200cos)(1dnfrann),,2,1,0(n200sin)(1dnfrbnn),,2,1(n200cos)(1dnfrann200sin)(1dnfrbnn由傅里叶级数理论，知,)()sincos(21),(1000nnnnfrnbnaaru),20(),,2,1,0(n),,2,1(n(44)24因此，定解问题(39)(40)0112urururrr),0(0rr).(|0furr(39)(40)的解由级数解(43)给出.)sincos(21),(10nnnnrnbnaaru,,nnba(43)其中系数由式(44)确定200sin)(1dnfrbnn200cos)(1dnfrann),,2,1,0(n),,2,1(n(44))20(25例1求下列问题的解0112urururrr),0(Rr.sin),(Ru200sin)(1dnfrbnn200cos)(1dnfrann),,2,1,0(n),,2,1(n(44)解利用公式20sinsin1dnRbnn20cossin1dnRann),,2,1,0(n),,2,1(n