第2章24非齐次方程的求解问题.

1补充),()()('tftuktu2.)(00u用拉普拉斯变换求解],[)(fLsF记对方程两边作解],[)(uLsU)()()()(sFsUkussU20)()()(sFsUkssU2).()(sFkssU21.)()(defttk02tketftu2)()(aseLat1][拉普拉斯变换得因此对上式作拉普拉斯逆变换得)()]([)]('[0utusLtuL2另法),()()('tftuktu2.)(00u求解直接利用一阶线性微分方程的通解公式得解00)(u.)()()(deftuttk020C利用条件即得所以原问题的解可表示为))(()(Cdfeetutktk0223补充),()()(2tftuktu.0)0(,0)0(uu用拉普拉斯变换求解],[)(fLsF记对方程两边作解],[)(uLsU)()()0()0()(22sFsUkususUs)()()(sFsUksUs22).()(sFkskksU221.)(sin)(10dtkfktkttfktusin)(1)(22asaatL][sin拉普拉斯变换得因此对上式作拉普拉斯逆变换得)(')()]([)](''[002usutuLstuL4tnndtlanfanltu0)(sin)()().,2,1(n).,2,1(n)()()(''2tftulantunnn,0)0(')0(nnuu1.如下常微分方程的初值问题(52)的解为(53).)()(0)()(2ttlannndeftu).,2,1(n).,2,1(n)()()('2tftulantunnn,0)0(nu2.如下常微分方程的初值问题(63)的解为(64)52.4非齐次方程的求解问题本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种常用的解法：固有函数法。下面我们将以三种类型定解问题的解法为例，来说明这种解法的要点与解题步骤。一、有界弦的强迫振动问题二、有限长杆的热传导问题(有热源)三、泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)6一、有界弦的强迫振动问题).()0,(),()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xxuxxutlututlxtxfuautxxtt(54)首先，我们考察下列问题此时，弦的振动是由两部分干扰引起的：其一是外界的强迫力，其二是弦所处的初始状态。由物理意义知，这种振动可以看做是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动之合成。7),,,(),(),(txwtxvtxu),(txv),(txw).()0,(),()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xxuxxutlututlxtxfuautxxtt(54)于是，我们可以设问题(54)的解为其中表示仅由强迫力引起的弦振动的位移；而表示仅由初始状态引起的弦振动的位移；),(txv),(txw和分别满足如下定解问题：8).()0,(),()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xxuxxutlututlxtxfuautxxtt(54).0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xvxvtlvtvtlxtxfvavtxxtt).()0,(),()0,(,0),(,0),0(),0,0(2xxwxxwtlwtwtlxwawtxxtt(55)(56)),(txv),(txw和分别满足如下定解问题：9为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题：.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46)上述问题，可采用类似于线性非齐次常微分方程所用的参数变易法，并保持这样的设想：即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定。10为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题：.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46),sin)sin(),(lxntNtxunnnn(16)由2.1节的知识可知，与(46)相应的齐次方程,2xxttuau满足齐次边界条件(47)的固有函数满足11.0)()0(,0)()(''lXXxXxX).,2,1(sin)(nlxnBxXnn为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题：.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46)},{sinlxn因此可知与(46)相应的齐次方程且同时满足齐次边界条件(47)的固有函数系为12.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46),sin)(),(1nnlxntutxu)(tunt),(txf,sin)(),(1nnlxntftxf第一步：设所求的解为其中是关于的待定函数。第二步：将方程中的自由项也按上述固有函数系展成傅里叶级数：(49)(50)13,0sin)()()(''12nnnnlxntftulantu).,2,1(ndxlxntxfltfln0sin),(2)(.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46),sin)(),(1nnlxntftxf(50)其中(51),sin)(),(1nnlxntutxu(49)把(49)-(50)代入方程(46)中可得14,0)0(nu)()()(''2tftulantunnn,0sin)()()(''12nnnnlxntftulantu).,2,1(n由此得.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46)在表达式(49)中利用初值条件(48)得,0)0('nu,sin)(),(1nnlxntutxu(49)15lnndtlanfanltu0)(sin)()().,2,1(n).,2,1(n)()()(''2tftulantunnn,0)0(')0(nnuu.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值问题(52)应用常微分方程中的参数变易法或拉氏变换法，得问题(52)的解为(53)16.0)0,()0,(,0),(,0),0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(48)(46)lnndtlanfanltu0)(sin)()().,2,1(n(53),sin)(),(1nnlxntutxu(49)将代入即得定解问题(46)-(48)的解。17例1求解下列问题),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt,A其中均是常数。解前几节的知识可知，与原方程相应的齐次,2xxttuau满足齐次第二类边界条件的固有函数满足,0),(,0),0(tlutuxx.0)0,()0,(xuxut方程.0)(')0(',0)()(''lXXxXxX).,2,1(cos)(nlxnAxXnn00)(BxX18,}{cos0nlxn因此可知与方程相应的齐次方程且同时满足齐次第二类边界条件的固有函数系为例1求解下列问题),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt,A其中均是常数。,0),(,0),0(tlutuxx.0)0,()0,(xuxut解,cos)(),(0nnlxntutxu)(tunt首先，设所求的解为其中是关于的待定函数。19,cos)(),(0nnlxntutxu,cossincos''02lxtAlxnulanunnn0''2nnulanu例1求解下列问题),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt,A其中均是常数。,0),(,0),0(tlutuxx.0)0,()0,(xuxut解.sin''121tAulau),1(n将代入原方程化简得比较等式两边系数即得20,0)0(nu中利用初值条件得,0cos)0(0nnlxnu,0)0('nu,0cos)0('0nnlxnu例1求解下列问题),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt,A其中均是常数。,0),(,0),0(tlutuxx.0)0,()0,(xuxut解,cos)(),(0nnlxntutxu在0''2nnulanu211''sin.auuAtl),1(n).,2,1,0(n21,0)0(')0(nnuu,0)0(')0(nnuu0''2nnulanu211''sin.auuAtl),1(n于是，我们得到两组常微分方程的初值问题tlanBtlanAtunnnsincos)(利用通解公式有首先当1n,0)(tun时，利用条件可得tlanlanBtlanlanAtunnncossin)(',0)0(')0(nnuu22,0)0(')0(nnuu,0)0(')0(nnuu0''2nnulanu.sin''121tAulau),1(n于是，我们得到两组常微分方程的初值问题tnndltanfanltu0)(sin)()((53)利用公式tdltaAaltu01)(sinsin)(1n当时，23tdtlaAaltu01)(sinsin)(ttdtlaladtlalaaAltu001coscos2)(ttlalalaaAl0sin12由于latlatlatlataAlsinsinsinsin2ttlalala0sin1.sinsin122tlatlalaaAl24.sinsin1)(221tlatlalaaAltu,cos)(),(0nnlxntutxu1n,0)(tun将代入.cossinsin1),(22lxtlatlalaaAltxu