第2章25具有非齐次边界条件的问题

答疑安排应用数学系办公室(科技楼602)答疑时间:第六周至第十周答疑地点：每星期五，下午2:30-5:002几种常见的固有函数系的形式;0),(,0),0(tlutu(1));,2,1(sinnlxn;0),(,0),0(tlutux(2));,2,1(2)12(sinnlxn;0),(,0),0(tlutux(3));,2,1(2)12(cosnlxn;0),(,0),0(tlutuxx(4));,2,1,0(cosnlxn以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域上的泊松方程是适用的。圆域上的泊松方程对应的固有函数系为,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nn(5)小结3固有函数法的解题步骤：小结1.将所考虑的定解问题的解按固有函数系展开2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程4.将利用初值条件得到步骤3中常微分方程的附加条件。然后求解常微分方程的初值问题。注意：若是泊松方程则需借助有界性和边界条件42.5具有非齐次边界条件的问题),,(txw),,(),(),(txwtxvtxu本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题的求解方法。处理这类问题的基本原则是：无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅助函数的方法。（也可称为辅助函数法）我们以下面的问题为例，说明选取函数代换),(txv通过函数代换使得对于新的未知函数而言，边界条件是齐次的。5考察定解问题：),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),,(),(),(txwtxvtxu,0),0(tv.0),(tlv),(),(),(),0(21tutlwtutw),,(txw),(txv通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，为此令(82)并选取辅助函数使新的未知函数满足齐次边界条件，即(83)由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要(84)6),(txw),(txwx),()(),(tBxtAtxw)(),(tBtA)],()([1)(12tutultA),()(1tutB),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),,(),(),(txwtxvtxu(82)),(),(),(),0(21tutlwtutw(84)其实满足(84)中两个条件的函数是很多的，为了以后计算方便起见，通常取为的一次式，即设由条件(84)确定得7),(txv).()]()([),(112tututulxxtw).()]()([),(),(112tututulxtxvtxu),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),,(),(),(txwtxvtxu(82)于是可得因此，令(85)则问题(79)-(81)可化成的定解问题8),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),0,0(),(12tlxtxfvavxxtt,0),(),0(tlvtv).()0,(),()0,(11xxvxxvt(86)),()()(),(),(1121tututulxtxftxf),0()0()0()()(1121uuulxxx其中).0()0()0()()(1121uuulxxx).()]()([),(),(112tututulxtxvtxu(85)9),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),0,0(),(12tlxtxfvavxxtt,0),(),0(tlvtv).()0,(),()0,(11xxvxxvt(86)).()]()([),(),(112tututulxtxvtxu(85)将问题(86)的解代入即得原定解问题问题(79)-(81)的解。10),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt(79);)(),(),(),0(21tutlututu);(),(),(),0(21tutlututux);(),(),(),0(21tutlututux(4)(3)(2)(1));(),(),(),0(21tutlututuxx).()(),(12tuxtutxw).()()(),(121tlutuxtutxw.)(2)()(),(1212xtuxltututxw).()]()([),(112tututulxxtw若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法把非齐次边界条件化成齐次的。我们就下列几种非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数),(txw的表达式：以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。).()(),(12tuxtutxw11求解下列问题：),0,0(2tlxuauxxt,0),(,),0(tluttu,.0)0,(xu(87)例1.),(txlttxw,),(),(txlttxvtxu-),0,0(12tlxlxvavxxt,0),(,0),0(tlvtv.0)0,(xv(88)解选取辅助函数令则问题(87)化成12,sin)(),(1nnxlntvtxv(89),)()(0)()(2ttlannndeftv-),0,0(12tlxlxvavxxt,0),(,0),0(tlvtv.0)0,(xv(88)应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设利用2.4.2节中推得公式(64)可知再利用2.4.2节中推得公式(62)可知dxlxnlxll0sin12.2ndxlxntxfltfln0sin),(2)(13ntfn2)(.sin1)(2),(1)(2322ntlanlxneanltxv,)()(0)()(2ttlannndeftvttlanndentv0)()(22)(,1)(22)(232tlaneanl,sin)(),(1nnxlntvtxv.sin1)(21),(1)(2322ntlanlxneanllxttxu再将代入(90)即得把(90)代入(89)可得因此，原问题(87)的解为14f21,uut),(xw),(),(),(xwtxvtxu特别值得注意的是，对于给定的定解问题，例如：),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut如果方程中的自由项和边界条件中的都与自变量无关，在这种情形下，我们可以选取辅助函数通过函数代换使方程与边界条件同时化成齐次的。15求解下列问题：),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)例2),(),(),(xwtxvtxu,2cos2sin))((2xlxlxwvavxxtt解设问题的解为(92))(xw.02cos2sin2xlxlwa将(92)代入问题(91)中的方程，即得为了将此方程化成齐次的，自然选取满足16)(xw),(txv,3),0(tw.6),(tlw,3)0(),0(wtv,6)(),(lwtlv,13)()0,(lxxwxv.4sin)0,(xlxvt求解下列问题：),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)例2),(),(),(xwtxvtxu解(92)再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得为了将的边界条件也化成齐次，则满足17.02cos2sin2xlxlwa,3),0(tw.6),(tlw),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv),(13)0,(xwlxxv(94)(93)),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)),(),(),(xwtxvtxu(92)这样由代换问题(91)化为下面两个问题：和.4sin)0,(xlxvt18.134sin32)(222lxxlalxw)(xw.02cos2sin2xlxlwa,3),0(tw.6),(tlw(93)问题(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv,4sin32)0,(222xlalxv.4sin)0,(xlxvt将求得的代入问题(94)(*)19),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv,4sin32)0,(222xlalxv.4sin)0,(xlxvt(*))1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14),sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln(15)利用公式nnba,其中系数满足20)1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxv,4nxdxlnxlallalnsin4sin3220222dxlxnlxanbln0sin4sin2,32222al,0.4n那么nnba,其中系数计算可得,4n,4al,0.4n21.4sin4sin44cos32),(222xltlaaltlaaltxvxltlaaltlaaltxu4sin4sin44cos32),(222.134sin32222lxxlal),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv),(13)0,(xwlxxv(94).4sin)0,(xlxvt于是，问题(94)的解为因此，原问题(91)的解为22求解下列问题：),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)例2另解选取辅助函数),1(3),(lxtxw)1(3),(),(lxtxvtxu,2cos2sin2xlxlvav