第2章_单自由度系统-22无阻尼自由振动

单自由度系统自由振动第二章2教学内容单自由度系统自由振动•引言•无阻尼自由振动•阻尼自由振动•单自由度系统的简谐强迫振动•简谐强迫振动理论的应用2.1引言4mkmmh0l/2l/2x静平衡位置5mxc2k2ktel=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfzxfkc1xmx0kI6•为了完全确定系统在给定时刻的状态所需要独立坐标的个数，只需一个独立坐标就能确定结构的位置。•可以用常系数的二阶线性常微分方程来描述它的运动规律•单自由度系统的振动理论和方法是多自由度系统和连续体系统振动理论和方法的基础。只有一个自由度的振动系统成为单自由度系统。2.2单自由度系统自由振动8固有振动或自由振动微分方程：0kxxm令：mk0单位：弧度/秒（rad/s）020xx则：通解：)sin()cos()(0201tctctx)sin(0tA固有频率复习：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动令tex0i算得本征值导出本征方程0202零时刻的初始条件：0)0(xx0)0(xx20020xxA0001xxtg)sin()cos()(00000txtxtx零初始条件下的自由振动：)sin(0tA9建立单自由度系统自由振动的运动微分方程的一般步骤：1、取定一个坐标系以描述系统的运动，原点为静平衡时质量所在位置2、设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体的受力简图3、按牛顿第二定律写出运动微分方程，，在振动分析中，通常把系统组成元件作用在质量上的力，即系统的内力写在方程左边，外界激励写在右边。第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动()mxFt4、确定系统初始的运动状态，即初始条件，00(0),(0)xxxx2.2.1运动微分方程10例1：提升机系统重物重量NW51047.1钢丝绳的弹簧刚度mNk/1078.56重物以的速度均匀下降smv/25.0求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。Wv)1500(kgm第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动11重物的运动微分方程为：0mxkx系统的固有频率：19.6/nkradsm方程的解：cos()nxAt系统的初始条件：(0)0,(0)0.25/xxvms将初始条件代入解中，有：cos0sin0.25nAA得：0.01282Am第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动1200()sin()0.0128sin(19.6)()vxtttm振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：)(1021.21074.01047.1555maxNkAWkATTs动张力几乎是静张力的一半由于kmvvkkA0为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度Wv第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动13例2：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程。300k重力加速度取9.8第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动14解：x0以质量静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下方向建立坐标系。系统的运动微分方程：300k0mxkx振动固有频率：2n/4910/170(/)kmrads方程的解：cos()nxAt第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动15x0振动初始条件：0030sinmgkx)(1.00cmx考虑方向00x初始速度：运动方程：)()70cos(1.0)(cmttx300k0.10A将初始条件代入解中，有：第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动16例3：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置。0kIIk/0扭振固有频率020为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩)/(radmNkkI由刚体定轴转动微分方程：第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动17例4：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量0I重心C求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率。mg0Ia0C第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动18解：由刚体定轴转动微分方程：0sin0mgaI因为微振动：sin则有：00mgaI00/Imga固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：00I20maIIcmg0Ia0C第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动190mxkx0dxdxmxkxdtdt0dxdxdxmkxdtdtdt221()1022dxdxmkdtdt221()02dmxkxdt2211,22TEmxUkx令()0TdEUdt0dxdxmxkxdtdt无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能ET和势能U之和保持不变，始终等于初始时刻的总机械能。TEUEconst常数第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动20结论：◆单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅和初相位取决于初始条件和系统的刚度和质量，运动的中点就是系统的静平衡位置◆振动的频率只与系统的刚度和质量有关。通常称为系统的固有频率◆与成正比，而与成反比。因此当系统的质量不变而刚度增加时，系统的固有频率增大。◆振动得以维持的原因是系统由储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件，由于不考虑能量耗散、无阻尼自由振动时机械能守恒，机械能的大小取决于初始条件和系统参数。振动时动能、势能不断相互转换，因此势能有一个最小值，使势能最小值的位置正是系统的静平衡位置。系统由稳定的平衡位置，其动能和势能可以相互转化，在外界的激励下，才能产生振动。振动总是在平衡位置附近进行。nmmnkn第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动212.2.2求固有频率的方法1.静态位移法mk系统静止时，在重力作用下弹簧伸长，根据胡克定律，有kmg2ngkm第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动22例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长L，抗弯刚度EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度。mh0l/2l/2第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动23解：由材料力学：自由振动频率为：EJmgl483gn取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系。静变形348mlEJmh0l/2l/2x静平衡位置第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动24撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：0x则自由振动振幅为：20020xxA梁的最大扰度：Amax)sin()cos()(00000txtxtxh22ghx20mh0l/2l/2x静平衡位置第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动252.能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T和势能V之和保持不变，即：或：2.2.2求固有频率的方法TEUEconst常数()0TdEU第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动26例：如图所示是一个倒置的摆摆球质量m刚杆质量忽略每个弹簧的刚度2k求:倒摆作微幅振动时的固有频率。lmak/2k/2第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动27解法1：广义坐标动能2222121mlIT势能maxmaxVTmax0max220mlmglka零势能位置1cos1212122mglakV零势能位置1)(21222mglka2sin21121222mglka22)(21mglkalmak/2k/2第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动28解法2：零势能位置2动能2222121mlIT势能cos212122mglakV0)(2222mglkaml0ddVTt0)(2222mglkaml220mlmglka零势能位置22sin2121222mglka2222121mglmglkamglmglka22)(21lmak/2k/2第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动29例：均质圆柱质量m，半径R与地面纯滚动在A、B点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动30解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：22)23(21mRTC点为运动瞬心势能：CA点速度：)(aRvAB点速度：)(bRvB)(aRxA)(bRxB222221))(2(21))(2(21bRkaRkU第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动31解：k1abRk1k2k2AB动能：22)23(21mRT势能：C222221))(2(21))(2(21bRkaRkUmax0maxmaxmax,UT])1()1([342/3])()([222212222120RbkRakmmRbRkaRk])1()1([3422210RbkRakm第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动32例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统确定系统微振动的固有频率。滑轮为匀质圆柱，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动k1Rk2Mmx33解：广义坐标：质量块的垂直位移x动能：2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkV势能：212)41(21xkk第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动k1Rk2Mmx34解：广义坐标：质量块的垂直位移x动能：x2)83(21xMmT势能：212)41(21xkkVmMkk83822120max0maxmaxmax,xxVTmMkk8382210第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动k1Rk2Mmx35小结：能量法的概念:利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能T和势能V之和保持不变，即：0ddVTt求系统的固有频率和振动方程，固有频率即maxmax0max0maxxxxx第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动36•2.2.3有效质量－利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限;mkx0－这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。mk/0第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动37例如：弹簧质量系统设弹簧的动能:221xmTtt系统最大动能：2max2maxmax2121xmxmTt系统最大势能：2maxmax21kxVmax0maxxxtmmk0若忽略，则增大tm02max)(21xmmttm弹簧等效质量mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限.第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动38瑞利法的概念:在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分布质量