第2章_技术基础2

18()Xf()Xf()Xf02jfte()Xf()Xf()Xf图2-9频移法的程序方框图和各阶段信号的幅频谱图a）信号幅频谱；b）采样信号幅频谱；c）平移后信号幅频谱；d）滤波后信号幅频谱；e）重新采样后信号幅频谱；f）FFT幅频谱（1）以采样频率sf采集MN个（增加了采样点数）离散数据，经DA/转换后得到信号序列1,...,2,1,0)(MNnnx它的幅频谱是以sf为周期的函数如图b）所示。（2）将信号序列乘以单位旋转矢量)2exp(0tfj得到序列1,...,2,1,0)(MNnny根据傅氏变换的性质，这相当于把原信号进行频移，即将0f(细化频率段的中心频率)移到频率坐标的原点，如图c）所示。（3）用数字低通滤波器对)(ny进行滤波，滤除细化频率段以外的高频成分，得到序列1,...,2,1,0)(MNnnz它的幅频谱如图d）所示，这是一个以0f为起点（零频）的新信号序列。由于)(nz的最高频率)(12ff不超过Mf/max，所以只需以采样频率)/(Mfs采集N个数据作快速傅氏变换，就可得到要求的细化频谱。（4）对)(nz每隔M个抽取一个数据(重新采样)，组成序列1,...,2,1,0)(Nnnw它的幅频谱是以Mfs/为周期的函数，如图e）所示。（5）对)(nw进行FFT就可得到细化频谱，如图f）所示.分辨力为MfNMffs/这个结果满足了在采样点数不变条件下提高局部频率分辨力M倍的需要。重新采样相乘采样频率数字低通滤波细化频谱()Xf()Xf()Xf()Xf()Xf()Xf02jfted）e）f）c）b）a）19复调制细化包括幅值细化与相位细化两方面，由于复调制过程中信号通过数字滤波器要产生附加相移，所以一般应予以修正，才能得到真实的细化相位谱。2.2.2倒频谱分析（二次频谱分析）一、意义时域信号)(tx在频域中的功率谱)(fSx为21()()xSfXfN它显示了时域信号)(tx的频率结构（不同频率周期分量的强度），是解决工程实际问题的重要工具。然而，有时频域中的功率谱也很复杂，不便分析，基于时域频域的转换效果将功率谱看作时间历程信号，再进行一次傅里叶变换必能取得相同的效果，有利于功率谱“频率结构“（周期分量）的分析。这样，就发展了倒频谱分析技术。倒频谱分析技术主要有两种：功率倒频谱和复倒频谱，功率倒频谱应用最广泛。二、功率倒频谱1．定义信号)(tx的功率倒频谱可以简单定义为功率谱的对数值的功率谱。2)]([lg)(fSFqCxp取对数可以使频域中两函数（两信号）的相乘关系（在时域两信号为卷积关系）转换为简单的加法关系，有利于信号的分离与识别。取对数还可縮小频谱图上幅值的差距，提升微小信号的幅值，这对发现故障初期的微弱信息特别有利。工程中常用功率倒频谱的正平方根值，称为幅值倒频谱，简称倒频谱。)]([lg)(fSFqCxa倒频谱是自变量q的函数，自变量q称为倒频率（相对频谱函数的自变量“频率”而言），它与自相关函数)(tRx的自变量有相同的量纲——时间，一般以毫秒计。q值大者称为高倒频率，表示谱图上的快速波动分量，q值小者称为低倒频率，表示谱图上的缓慢波动分量。由于)(lgfSx是实偶函数，根据傅里叶变换的对偶性也可用傅里叶逆变换定义倒频谱。)]([lg)(1fSFqCxa即倒频谱为功率谱对数值的傅里叶逆变换。2．应用1）显示功率谱的周期成分复杂的功率谱图很难直接区分出其中的周期分量，对它再作一次谱分析（对原信号进行倒频谱分析）则功率谱中的各周期分量都转变为倒频域中的离散线谱，它的高度反映周期分量的大小，它的横坐标反映周期成分的频率。功率谱图上的各周期成分在倒频谱图上一目了然，很容易区分出来。2)分离输出信号中传输系统对输入信号的影响例如在工程中监测设备运行的振动状况时，传感器接收的往往不是振源信息本身)(tx，而是经传输系统)(th到测点的输出信号)(ty，对于线性糸统三者关系20系统x(t)h(t)y(t)X(f)H(f)Y(f)在时域中为)()()(thtxty在频域中为)()()(fHfXfY或2)()()(fHfSfSxy在倒频域中，因为))()(lg()(lg2fHfSfSxy2)(lg)(lgfHfSx两边取傅里叶逆变换，可得幅值倒频谱关系为)()()(qCqCqCHXY显然，根据传感器测得的状态信号，利用时域的波形图或频域的谱图都很难把振源信号和传输系统的影响分开，但是在倒频域中却非常容易。因为在频域中传输系统的特性变化较振源信号的变化缓慢很多，所以在倒频谱中前者处于左边低倒频段，后者处于右边高倒频段，各自占有不同的位置，当然，区分它们就相当容易了。三、复倒频谱上面介绍的倒频谱都是实倒频谱，没有相位信息，过程不可逆。需要在倒频域中去除干扰后重建原函数时，就只能利用复倒频谱技术。信号)(tx的复倒频谱定义为复频谱对数的傅里叶逆变换，即1()ln()CqFXf1()ln(())jfFXfe1ln()()FXfjf11ln()()FXfjFf由上可知复倒频谱与前面的功率倒频谱不同，它不丢失信号的相位信息，所以获得复倒频谱的过程是可逆的。因此若时域信号中含有干扰成分，可以从它的复倒频谱中除去干扰成分的复倒频成分，然后通过还原处理，就可得到没有干扰的时域信号。2.2.3时间序列模型分析在机械设备运行过程中监测到的时间序列（温度、压力、振动、噪声……的采样值），是随机过程的一个样本，不仅有大小，而且有先后次序，表征了设备的运行状态。时间序列模型分析法（简称时序分析或时序法）就是对监测到的时间序列建立数学模型（时序模型），并用数学模型分析数据的变化规律、识别监测对象的运行状态和发展趋势的一种数学方法。时间序列模型分析法是一种现代数据处理方法，具有一系列传统方法没有的优点，识别精度高，特别适用于根据较短数据诊断设备状态的地方,所以在故障诊断领域受到越来越广泛的重视。21一、时间序列的数学模型在时序法中研究的时间序列是平稳、正态、零均值随机过程的样本。很多实际应用的时间序列，都可当作平稳、正态序列，若不是零均值，则要先将数据扣除均值。当然不言而谕过程应是各态历经的。对平稳、正态、零均值的时间序列}{tx经证明可以建立如下线性时序模型。mtmtttntntttaaaaxxxx22112211简写为mjjtjtniititaaxx11式中i──自回归参数，1,2,...,in，n为自回归阶数；j──滑动平均参数，1,2,...,jm，m为滑动平均阶数；ta──模型残差或称随机干扰，服从正态分布，是相互独立的变量，其均值为零、方差为2a。具有这种性质的干扰，称白噪声序列，简称白噪声。上式称为n阶自回归m阶滑动平均模型，简称),(mnARMA模型。它表明了数据的统计特性：t时刻的监测值tx由两部分组成，一部分是tx的估计值，它与t时刻前n个监测值，m个干扰值线性相关，是它们的加权和；另一部分是ta它是随机因素的综合影响，是误差、残差或称干扰。自回归滑动平均模型描述了数据的统计特性，数据所包含的全部信息都凝聚在它的有限个参数之中，所以它是一个参数模型。模型的特例是：（1）自回归模型简称)(nAR模型tntntttaxxxx2211上式表明序列t时刻的值tx是由序列自身的n个过去值线性回归形成。（2）滑动平均模型简称)(mMA模型mtmttttaaaax2211上式表明tx是由}{ta以m,...,,21为权系数滑动式地取1m项的和形成。由于自回归滑动平均模型和滑动平均模型都可用高阶自回归模型逼近，而且系数i也比较容易确定。所以在生产实践中，特别是故障诊断领域，)(nAR模型是最常用的时序模型。二、AR模型的建立根据监测的时间序列估计模型阶数和参数大小是时序法的关键。1．AR模型参数的最小二乘估计这是最基本的参数估计方法，解法步骤如下：（1）设AR模型为tntntttaxxxx2211（2）将监测的样本数据零均值化后),...,,...,,(21Nnxxxx，代入上式得以下线性方程组111211nnnnnaxxxx222112nnnnnaxxxx┇NnNnNNNaxxxx2211（3）求残差平方和2111211)]([nnnnnaxxxxQ2222112)]([nnnnnaxxxx┇2222211)]([NnNnNNNaxxxx（4）为使残差平方和最小，应使01Q02Q…0nQ由此可以得到n个i的线性方程组，解线性方程组便可得到i的最小二乘估计。求出n,...,,21的估计值后，残差}{ta的方差2a可由下式求出2,,221,11,2)(1ntntNntttaxxxxN2．模型定阶前面介绍的是在给定模型阶数n条件下，估计模型参数的一种方法，但是n应为多少才合适？一般的作法是由低到高逐次升阶拟合模型，并进行检验，直到确定出合适的模型为止。计算流程见图2-10。模型合适与否最根本的判别准则是检验模型的残差ia是否为白噪声。在模型阶数低于实际阶数时ia的2a较大，阶数上升逐步接近真实模型时，2a值将下降，如果阶数过高，由于参数估计的误差增大，又会使2a值上升。但是，在实践中这种检验很难做到，目前常用的定阶准则有以下两种：数据检验与予处理开始n=1结束拟合AR(n)模型n+1检验NY图2-10模型定阶框图1）FPE准则nNnNFPEa2)(式中：N——数据个数n——AR模型阶数2a——模型残差的方差该准则只适合)(nAR模型，使FPE值最小的n值，就是模型合适的阶数。2）AIC准则pNAICa2ln2式中：p——参数个数,对)(nAR模型np。23AIC准则由两部分组成，第一部分体现拟合模型的精度，后一部分取决于模型参数的个数（模型的复杂程度）当p值小于正确值时第一部分起主要作用，p值增大AIC值下降，当p值接近或超过正确值时，第一部分变化甚微，第二部分起主要作用，AIC值随p增大而上升，因此使AIC值最小的p值就应是模型合适的阶数。三、)(nAR模型的自相关函数与自功率谱密度函数监测数据的时序模型蕴含了数据的全部信息，所以利用时序模型的参数就可以计算出数据的时域特征参数和频域特征参数。在这里只介绍两种常用参数的计算式1．自相关函数自相关函数是时间序列在时域的重要统计特性，前已述及，自相关函数定义为][)(nttxxEnR，可以通过数据}{tx直接估算。在建立了时序模型后，我们就可以用模型的参数来计算。以)1(AR模型为例说明如下：由tttaxx11经一次替换后得ttttaaxx)(1211tttaax)11221经二次替换后得tttttaaaxx11221331经u次替换后得ujjtjututaxx01)1(11当u时，得01jjtjtax因此][)(nttxxEnR0101)])([(iintijjtjaaE][11intjtjiijaaE由于}{ta是白噪声，只有当inj时，2][aintjtaaE；不等时，0][intjtaaE。因此上式为0112)(jnjjanR01212jnjana12121242．自功率谱密度函数自功率谱密度函数是时间序列在频域的重要统计特性，前已述及，自功率谱密度