第2章一维势场中的粒子习题解答

第2章一维势场中的粒子习题2.1在三维情况下证明定理1-2。证明：实际上，只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量x换为三维变量r即可。习题2.2方程0kdxd222的一般解亦可写为如下形式：ikxikxBeAex)(或)sin()(kxAx试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。解：方法1：令势阱内一般解为ikxikxBeAex)(，代入边界条件,0)(,0)0(a有0BA，0ikaikaBeAe解得：0sin,kaBA，有)3,2,1(,nank所以：)0(,sinsin2)(axxanAxanAix归一化可求得：)0(,sin2),0(,0)(axxanaaxxx且有：,3,2,1,22222nanEEn方法2：令势阱内一般解为)sin()(kxAx，代入边界条件,0)(,0)0(a有,0sinA0)sin(kaA解得,0)3,2,1(,nank所以：)0(,sin)(axxanAx归一化可求得：)0(,sin2),0(,0)(axxanaaxxx且有：,3,2,1,22222nanEEn习题2.3设质量为μ的粒子在势场2/||,2/||,0)(axaxxV中运动，求定态Schrödinger方程的解。解：方法1：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，将教材中式（2.6）中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为：V(x)-a/2a/2x2/,2/,02/.2/),2(sin2)(axaxaxaaxanaxna2nEE222n2,n=1,2,3……由定理2可知，本问题中的波函数应该具有确定的宇称。讨论如下：当n=2k为偶数时，.2/,2/,0.2/2/,2sin2)1()2(2sin2)(2axaxaxaaxkaaxakaxkk为关于x的奇函数，此时波函数为奇宇称；当n=2k+1为奇数时，.2/,2/,0.2/2/,)12(cos2)1()2()12(sin2)(12axaxaxaaxkaaxakaxkk为关于x的偶函数，此时波函数为偶宇称；方法2：本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1．写出分区的定态Schrödinger方程EHˆ)(,2/||,22/||,200222222VaxEVdxdaxEdxd由前面提到的，当V0→∞时，ψ=0故阱外波函数为零，即ψ（x）=0,|x|≥a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令22Ek则阱内定态Schrödinger方程为：ψ″(x)+k2ψ=0由此得阱内的通解为：ikxikxBeAex)(式中A、B为待定常数。3、由波函数标准条件确定参数k，并代入ψ(x)。既然阱外的波函数ψ(x)=0，由波函数的连续性条件可得ψ(-a／2)=ψ(a／2)=0即002/2/2/2/ikaikaikaikaBeAeBeAe可解得，ankn=1,2,3,……inAeB∴)2(sin)2//sin(2)()(2/)2//()2//(2/)/(/axanAnaxniAeeeAeAeAexinnaxninaxniinnaxniaxin归一化，可得到2/||.0,3,2,1,2/||),2(sin2)(axnaxaxanaxn方法3：本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1．写出分区的定态Schrödinger方程EHˆ)(,2/||,22/||,200222222VaxEVdxdaxEdxd由前面提到的，当V0→∞时，ψ=0故阱外波函数为零，即ψ（x）=0,|x|≥a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令22Ek则阱内定态Schrödinger方程为：ψ″(x)+k2ψ=0由此得阱内的通解为：ψ(x)=Asinkx+Bcoskx,|x|a/2式中A、B为待定常数。3、由波函数标准条件确定参数k，并代入ψ(x)。既然阱外的波函数ψ(x)=0，由波函数的连续性条件可得ψ(-a／2)=ψ(a／2)=0即0)2/cos()2/sin()(0)2/cos()2/sin()(kaBkaAakaBkaAa得它的解为：0)2/cos(0kaA或0)2/sin(0kaB由两组解可得，ankn=1,2,3,……对于第一组解，n为奇数；对于第二组解，n为偶数。考虑到势函数关于坐标原点对称，波函数必有确定的宇称，由此可得到偶宇称或奇宇称波函数为：0,sin)(为偶数nxanxAxn2/||2/||axax或0,cos)(为奇数nxanxBxn2/||2/||axax上边两组解可合并为一个式子，即2/||,0,3,2,1,2/||),2(sin')(axnaxaxanAxn归一化，可得到2/||,0,3,2,1,2/||),2(sin2)(axnaxaxanaxn习题2.4二维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场)),0(),,0((),(,)),0(),,0((),(,0),(2121aayxaayxyxV中运动，求束缚态解。解：由前面的知识可以知道当粒子处于V(x,y)=∞时，则粒子的波函数为零，即ψ(x,y)=0(x,y)((0,a1),(0,a2))粒子在(x,y)∈((0,a1),(0,a2))内的Schrödinger方程EHˆ即：Eyx)(222222利用变量分离法，可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动。即令ψ(x,y)=X(x)Y(y)将ψ(x,y)=X(x)Y(y)代入上式的Schrödinger方程中，得022EYYXX令222212Ekk则Schrödinger方程可化为:),0(,0),0(,0222112ayYkYaxXkX则其解为:)sin()sin(2211ykAYxkAX由此可设波函数为：ψ(x,y)=Asin(k1x+δ1)sin(k2y+δ2)(x,y)∈((0,a1),(0,a2))由边界条件：ψ(x,0)=ψ(0,y)=ψ(a1,y)=ψ(x,a2)=0代入波函数中，得x0sin)sin(0)sin(sin21102210xkAykA0sin0sin21,故可取0021∴ψ(x,y)=Asink1xsink2y(x,y)∈((0,a1),(0,a2))由边界条件ψ(a1,y)=ψ(x,a2)=0得0sinsin0sinsin221211akxkAykakA则得到k1a1=n1π,k2a2=n2π(n1,n2=1,2,3……)即111ank，222ank∴3,2,1,),(221222221212nnananE波函数yanxanA2211sinsin由波函数的归一化条件得到：1sinsin||2201122021ydxdyanxanAaa得212124aaaaA所以，二维无限深方势阱的波函数为：yanxanaayxnn221121,sinsin2),(21，n1,n2=1,2,3……能级为：3,2,1,),(221222221212,21nnananEnn习题2.5三维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场)),0(),,0(),,0((),,(,)),0(),,0(),,0((),,(,0),,(321321aaazyxaaazyxzyxV中运动，求束缚态解。解：由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为零。即ψ(x,y,z)=0(x,y)((0,a1),(0,a2),(0,a3))在盒型势阱内的定态Schrödinger方程EHˆ即：Ezyx)(22222222利用变量分离法，可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。不可穿透的壁就是无限深的势阱。令ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)代入上式Schrödinger方程中，得ya2a1a3zx022EZZYYXX令22322212Ekkk则Schrödinger方程可化为：),0(,0),0(,0),0(,0323222121azZkZayYkYaxXkX∴阱内的波函数可设为：ψ(x,y,z)=Asin(k1x+δ1)sin(k2y+δ2)sin(k3z+δ3)(x,y,z)∈((0,a1),(0,a2),(0,a3))将边界条件：ψ(0,y,z)=ψ(x,0,z)=(x,y,0)=0代入波函数中，得0sin0sin0sin321，故可取000321∴此时波函数可写为：ψ(x,y，z)=Asink1xsink2ysink3z(x,y,z)∈[(0,a1),(0,a2),(0,a3)]由边界条件，ψ(a1,y,z)=ψ(x,a2,z)=ψ(x,y,a3)=0代入波函数中，得：0sinsinsin0sinsinsin0sinsinsin332132213211akykxkAzkakxkAzkykakA∴0sin0sin0sin332211akakak333222111naknaknak(n1,n2,n3=1,2,3……)∴,111ank,222ank,333ank(n1,n2,n3=1,2,3……)所以：)(232322221212,,321anananEnnnzanyanxanAnnn332211,,sinsinsin321由归一化条件1||2,,321dxdydzvnnn得出，3218aaaA即，三维无限深势阱的波函数为：zanyanxanaaazyxnnn332211321,,sinsinsin8),,(321n1,n2,n3=1,2,3……能级：3,2,1,,),(232132322221212,321nnnanananEnnn习题2.6＊一维高低不对称方势阱问题如图，设质量为的粒子在势场ax,Vax0,00x,V)x(V21中运动，求束缚态情形（0EV1V2）定态Schrödinger方程的解。解：写出分区的定态Schrödinger方程EHˆax,EVdxd2ax0,Edxd20x,EVdxd222222221222（1）令22211E2k,)EV(2k，223)EV(2k（2）则分区的定态Schrödinger方程为：ax,)x(k)x(ax,)x(k)x(x,)x(k)x(00000212221（3）考虑到0x|，可将设各分区域的通解为：ax,De)x(ax,CeBe)x(x,Ae)x(xkxikxikxk332100221（4）式中A、B、C、D为待定常数。由波函数的连续性条件可得到：aka