第2章传递函数矩阵的MFD.

2.1数学基础2.2矩阵分式描述2.3有理分式阵的互质分解2.4史密斯-麦克米伦形第2章传递函数矩阵的矩阵分式描述2019/12/2021单模矩阵方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。性质：(1)Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵；(2)Q(s)为单模阵Q(s)非奇异；(3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；(4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵。2.1数学基础2019/12/2032初等变换：(1)行（列）交换；(2)用一非零实或复数乘以某行或列；(3)用某行(列)乘以一个多项式加到另一行(列)上。注意：（1）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初等矩阵；（2）初等矩阵都是单模矩阵；（3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或）右乘单模矩阵；（4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。2019/12/2043公因子和最大公因子公因子的定义•相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.•相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多项式矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子.)()()()()()(sRsDsDsRsNsN)()()()()()(sAsQsAsBsQsB2019/12/205gcd(最大公因子)的定义•gcrd:(1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子;(2)R(s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s)则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd.•gcld:(1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子;(2)Q(s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s)则称Q(s)是B(s)和A(s)的gcld.2019/12/206Gcd的性质以gcrd为例(1)gcrd不唯一.若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵,则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd.Why:0)()(0)(00)()()()()(~,00)()(~sRsWsRIsWsNsDsUsUIsWsU也是单模阵构造2019/12/207(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrdR2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd则R1(s)非奇异R2(s)非奇异R1(s)单模R2(s)单模(3)(4)gcrdR(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)(5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数..,)()(都是非奇异的其所有列满秩时gcrdsNsD2019/12/2084互质性右互质和左互质D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd.若gcrd为单模阵,则称D(s)和N(s)右互质.A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld.若gcld为单模阵,则称A(s)和B(s)左互质.右互质判据•判据1:贝佐特等式判据D(s),N(s)右互质存在X(s),Y(s)多项式矩阵使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I2019/12/209•判据2：秩判据•判据3：非右互质判据CspsNsDranksNsD,)()()(),(右互质.)()(,)(),(),(detdeg)(detdeg,0)()()()(,)()()()(,)(),()(detdeg)(detdeg,0)()()()()()()()(,)(,)()(),(是约去公因子后的结果必有公因子则而即若为多项式若性类似两个多项式的互质且使存在非右互质sAsBsDsNsDsAsNsAsDsBsAsBsDsNsDsNsDsAsNsDsAsBsNsAsDsBsAsBsNsDqqpq2019/12/2010Gcrd构造关系式的一个性质)(detdeg)(detdeg,)(),()3()()()()(,)()2(;)(),()1(,)(0)()()()()()()()()()(2221122122212222211211sUsDsNsDsUsUsDsNsUsUsUsDsRsNsDsUsUsUsUsNsDsU当且仅当为右互质且非奇异左互质则成立非奇异设2019/12/20115列次数和行次数•多项式的次数：•多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。•多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。.,0,)(0111称为多项式的次数的最高幂次为则msddsdsdsdsdmmmmm},,2,1),({degmax)(pissii个列向量的次数第列的次数第isMksMicici)()(:2019/12/2012•如个行向量的次数第行的次数第jsMksMjrjrj)()(:3,3,1,3,10213121)(2132132rrccckkkkksssssssM2019/12/2013多项式矩阵的列次表示式上例中的M(s)可表示为一般地，23,()1031210()120100MsssssMsss方阵维数为的列数关于幂次的对角阵幂次大小等于所在列的次数的各项次数低于有为方阵时当cikhckkkclcchcksMsMsMsssdiagsHsMsHMsMcicpcc)(det)(det,)(},,,{)()()()(212019/12/2014多项式矩阵的行次表示式230101213()020100ssssMsss的各项次数低于有为方阵时当一般地rikhrkkkrlrhrrksMsMsMsssdiagsHsMMsHsMrirqrr)(det)(det,)(},,,{)()()()(212019/12/20156既约性此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵M(s)列既约：M(s)行既约：注：•列既约和行既约之间无必然的联系；•M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。piripicisMsMsMsM11)()(detdeg)()(detdeg2019/12/20167Smith形0)()()()()()()(),min(0,)(,)(21sssssVsQsUpqrrsrankQsQrpq).()()()4();()(),(|)()3(;10)()2(;0,)()1(11不变多项式的不变因子称为可以整除即多项式的首是非其余块阵为左上角的块阵对角形sQsssssssiiiiii特征：2019/12/20172.2矩阵分式描述一.G(s)的表示形式MFD的几点说明：1MFD的次数MFD的次数定义为其“分母矩阵”的行列式的次数。pqqqpppqpqsBsAsDsNsG)()()()()(11右MFD左MFD2019/12/20182MFD描述的不唯一性一个已知的G(s)，其MFD表达不唯一，其次数也不唯一。若定义则且当W(s)为单模阵时(其行列式为一常数)N()()(),()()()sNsWsDsDsWs11()()()()()GsNsDsNsDsdegdet()degdet()DsDsdegdet()degdet()DsDs2019/12/20193G(s)的所有MFD中，次数最小的MFD称为最小阶MFD，它也不唯一。4左MFD与右MFD存在对偶性，因此对右MFD得出的属性也适用于左MFD。2019/12/2020二矩阵分式描述的真性和严真性1.真性和严真性判据D(s)为列既约G(s)为严格真()(),1,,ciciNsDsipG(s)为真()(),1,,ciciNsDsip注：D(s)为列既约是该判据一个不可缺少的条件。2019/12/2021D(s)为非列既约引入单模阵W(s)，使则：G(s)为严格真()(),1,,ciciNsDsipG(s)为真()(),1,,ciciNsDsipN()()(),()()()()sNsWsDsDsWsDs为列既约2019/12/2022三.非真有理分式阵的分解1存在性和唯一性非真，则一定唯一地存在R()(),1,,cicisDsip两个q×p的多项式矩阵Q(s)和R(s)，使成立1()()()GsNsDs11()()=Q()()()NsDssRsDs其中：严真，若D(s)列既约，则1()()RsDs2019/12/20232分解算法对G(s)中所有非真元做多项式除法，得到ij()=q()(())ijijspgssgs求出非真1()()()GsNsDs由组成Q(s)，由组成q()ijs(())ijspgsG()sps11()()()()()NsDsQsRsDs求解结果，其中R()()()spsGsDs计算1R()()sDs为非真的严真部分。1N()()sDs2019/12/20242.3有理分式阵的互质分解一.不可简约矩阵分式描述1定义右互质MFD:N(s)和D(s)是右互质的。左互质MFD:A(s)和B(s)是左互质的。不可简约MFD:G(s)的右互质和左互质MFD,统称为G(s)的不可简约MFD.2019/12/20252不可简约MFD基本属性性质1不可简约MFD不唯一。所有左（或右）不可简约MFD之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广义唯一的。.)()()()()()()()()()()()(:2121122111为单模矩阵则不可简约设即sUsUsNsNsUsDsDsDsNsDsNsG2019/12/2026.)(.)(,)(),(,.)()(~)()(~)()()]()(~)()(~[)()()(),()()()()(~)()(~,,)(),(.)(),(.)(),()()()()()()()()()()(:111111111121122222111211221122111是单模矩阵故为多项式矩阵可得右互质由同理是多项式矩阵代入将有由贝佐特等式判据右互质已知都是多项式矩阵即证为单模矩阵只要证设证明sUsUsDsNsNsYsDsXsUIsUsNsYsDsXsUsNsNsUsDsDIsNsYsDsXsDsNsUsUsUsUsDsDsDsDsNsNsDsNsDsN2019/12/2027性质2:不可简约MFD和可简约MFD关系所有的可简约MFD,如都可通过不可简约的MFD如得到。即总有非奇异多项式矩阵T(s)（未必是单模矩阵）,使)()(1sDsN)()(1sDsN)()()()()()(sTsDsDsTsNsN说明：可简约，其最大公因子R(s)不是单模矩阵，但非奇异。提出并约去R(s)，可得不可简约的MFD。这样得到的不可简约的MFD很可能不同于给定，但其只差一个单模矩阵U(s)，由此单模矩阵和R(s)即可构造出T(s)=U(s)R(s).)()(1sDsN)()(1sDsN2019/12/2028(),1,2,()(),1,2,iiNsiSmithDsi必成立：分子具有相同的形不变多项式相同分母具有相同的不变多项式对G(s)的所有的不可简约MFD，性质3:1()()(),1,2,iiGsNsDsi在中,若N(s),D(s)是右